Demonstração de permutações circulares, exemplos, exercícios resolvidos

As Permutações circulares São tipos diferentes de grupos de todos os elementos de um conjunto, quando precisam ser ordenados em círculos. Nesse tipo de permutação, as importações de ordem e os elementos não são repetidos.

Por exemplo, suponha que você queira saber o número de acordos que não sejam os dígitos de um a quatro, colocando cada número em um dos vértices de um Rhombus. Estes seriam 6 acordos no total:

Não deve se confundir que o número um esteja na posição superior do rombus em todos os casos como uma posição fixa. As permutações circulares não mudam devido à virada do arranjo. A seguir, é apresentada uma ou a mesma permutação:

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Demonstração e fórmulas

No exemplo dos diferentes arranjos circulares de 4 dígitos localizados nos vértices de um rombus, o número de arranjos (6) pode ser encontrado assim:

1- Qualquer um dos quatro dígitos é tomado como ponto de partida em qualquer um dos vértices e o próximo vértice é avançado. (É indiferente se for virado na direção do relógio ou na direção oposta ao relógio)

2- Existem 3 opções para selecionar o segundo vértice, e existem 2 opções para selecionar o terceiro vértice e, é claro, existe apenas uma opção de seleção para o quarto vértice.

3 - Assim, o número de permutações circulares, indicado por (4 - 1) p (4 - 1), é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

(4 - 1) p (4 - 1) = 3*2*1 = 6 arranjos circulares além de 4 dígitos.

Em geral, o número de permutações circulares que podem ser alcançadas com todos os n elementos de um conjunto é:

(N - 1) p (n - 1) = (n - 1)!  = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Revise isso (n -1)!  É conhecido como fatorial e abreviado o produto de todos os números do número (n -1) para o número um, ambos incluídos.

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Exemplos

Exemplo 1

Quantas maneiras diferentes têm 6 pessoas para se sentar em uma mesa circular?

Você quer encontrar o número de maneiras diferentes pelas quais 6 pessoas podem sentar em torno de uma mesa redonda.

N ° de maneiras de sentar = (6 - 1) p (6 - 1) = (6 - 1)!

No. de maneiras de sentar = 5*4*3*2*1 = 120 maneiras diferentes

Exemplo 2

Quantas maneiras diferentes têm 5 pessoas a serem localizadas nos vértices de um Pentágono?

O número de maneiras pelas quais 5 pessoas podem ser localizadas em cada um dos vértices de um Pentágono é procurado.

N ° de maneiras de estar localizado = (5 - 1) p (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° de maneiras de estar localizado = 4*3*2*1 = 24 formas diferentes

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Um joalheiro adquire 12 pedras preciosas diferentes para localizá -las nos pontos das horas de um relógio que está se preparando para a casa real de um país europeu.

a) Quantas maneiras diferentes você tem para pedir as pedras no relógio?

b) Quantas formas diferentes você tem se a pedra que vai aos 12 é única?

c) quantas formas diferentes se a pedra dos 12 for única e as pedras dos outros três pontos cardinais, 3, 6 e 9; Existem três pedras específicas, que podem ser trocadas, e o restante das horas são atribuídas ao resto das pedras?

Soluções

a) o número de maneiras de pedir todas as pedras; isto é, o número de arranjos circulares que envolvem todas as pedras disponíveis.

Número de arranjos no relógio = (12 - 1) p (12 - 1) = (12 - 1)!

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Número de arranjos no relógio = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° de arranjos no relógio = 39976800 formas diferentes

b) se pergunta quantas maneiras diferentes de ordenar existem sabendo que a pedra da alça dos 12 é única e fixa; isto é, o número de arranjos circulares envolvendo as 11 pedras restantes.

N ° de arranjos no relógio = (11 - 1) p (11 - 1) = (11 - 1)!

Número de arranjos no relógio = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° de arranjos no relógio = 3628800 formas diferentes

c) Finalmente, o número de maneiras de ordenar todas as pedras é procurado, exceto a pedra dos 12 que são fixos, as pedras dos 3, 6 e 9 que têm 3 pedras a serem atribuídas entre elas; isto é, 3! possibilidades de arranjo e o número de arranjos circulares envolvendo as 8 pedras restantes.

N ° de arranjos no relógio = 3!*[(8-1) p (8-1)] = 3!*(8-1)!

Número de arranjos no relógio = (3*2*1) (8*7*6*5*4*3*2*1)

N ° de arranjos no relógio = 241920 formas diferentes

- Exercício 2

O Comitê Diretor de uma empresa é composto por 8 membros e se reúne em uma mesa oval.

a) Quantas formas diferentes de planejamento ao redor da mesa o comitê tem?

b) Suponha que o presidente esteja na cabeça da tabela em qualquer acordo do comitê, quantas formas diferentes de planejamento?

c) Suponha que o vice -presidente e o secretário sintam em qualquer acordo do comitê, quantas formas diferentes de planejamento o restante do comitê?

Soluções

a) Você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar os 12 membros do comitê ao redor da mesa oval.

Acordos do comitê No. (12 - 1) p (12 - 1) = (12 - 1)!

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Número dos acordos do comitê = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Número dos acordos do comitê = 39976800 formas diferentes

b) Como o presidente do comitê está localizado em uma posição fixa, é procurado o número de maneiras de ordenar os membros restantes do comitê ao redor da tabela oval.

Acordos do comitê No. (11 - 1) p (11 - 1) = (11 - 1)!

Número dos acordos do comitê = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 1

Acordos do comitê nº 3628800 formas diferentes

c) O presidente está localizado em uma posição fixa e, nas laterais, são vice -presidente e secretário com duas possibilidades de acordo: vice -presidente da direita e secretária à esquerda ou vice -presidente da esquerda e secretário à direita. Então você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar os 9 membros restantes do comitê em torno da tabela oval e multiplicar pelas 2 formas de acordos que o vice -presidente e o secretário têm.

Acordos do comitê nº 2*[(9-1) p (9-1)] = 2*[(9-1)!]

Acordos do comitê nº 2*(8*7*6*5*4*3*2*1)

Número dos acordos do comitê = 80640 formas diferentes

Referências

1. Boada, a. (2017). Uso de permutação com repetição como experimentos de ensino. Revista da Vivat Academy. Recuperado do ResearchGate.líquido.
2. Canavos, g. (1988). Probabilidade e Estatística. Aplicações e métodos. McGraw-Hill/Interamerican do México S. PARA. claro. V.
3. Vidro, g.; Stanley, J. (mil novecentos e noventa e seis). Métodos estatísticos não aplicados às ciências sociais. Hall Hall Hall H Hispanoamerican. PARA.
4. Spiegel, m.; Stephens, l. (2008). Estatisticas. Quarto ed. McGraw-Hill/Interamerican do México S. PARA.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, Ka. (2007). Probabilidade e estatística para engenheiros e cientistas. Oitava ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, a. (2000). Estatísticas aplicadas aos negócios e economia. Terceira ed. McGraw-Hill/Interamerican S. PARA.
7. Wikipedia. (2019). Permutação. Recuperado de.Wikipedia.org.