Características compostas números, exemplos, exercícios

O números compostos Eles são aqueles que têm mais de dois divisores. Se parecermos bem, todos os números são pelo menos divisíveis exatamente entre si e entre 1. Aqueles que só têm esses dois divisores são chamados de primos, e aqueles que têm mais são compostos.

Vejamos o número 2, que só pode ser dividido entre 1 e 2. O número 3 também tem dois divisores: 1 e 3. Portanto, ambos são primos. Agora vamos ver o número 12, ao qual podemos dividir exatamente por 2, 3, 4, 6 e 12. Tendo 5 divisores, 12 é um número composto.

figura 1. Números primos em azul, só podem ser representados por uma única fila de pontos, mas não os números compostos em vermelho. Fonte: Wikimedia Commons.

E o que acontece com o número 1, o que divide todos os outros? Não é primo, porque não possui dois divisores e não é composto, portanto o 1 não se enquadra em nenhuma dessas duas categorias. Mas há muito mais números que fazem.

Os números compostos podem ser expressos como o produto dos números primos, e este produto, exceto a ordem dos fatores, é único para cada número. Isso é garantido pelo teorema fundamental da aritmética demonstrada pelos euclídeos de matemática grega (325-365 AC).

Vamos voltar ao número 12, que podemos expressar de várias maneiras. Vamos tentar alguns:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2² x 3 = 3 x 2² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Os formulários destacados em negrito são produtos de números primos e a única coisa que muda é a ordem dos fatores, o que sabemos que não altera o produto. As outras formas, embora válidas para expressar 12, não consistem apenas em primos.

Exemplos de números compostos

Se queremos quebrar um número composto em seus principais fatores, devemos dividi -lo entre números primos para que a divisão seja exata, ou seja, o resíduo é 0.

Este procedimento é chamado Decomposição em fatores primos ou decomposição canônica. Fatores primos podem ser elevados a expoentes positivos.

Vamos quebrar o número 570, percebendo que é uniforme e, portanto, divisível entre 2, que é um número primo.

Pode atendê -lo: qual é o fator de proporcionalidade? (Exercícios resolvidos)

Usaremos uma barra para separar o número esquerdo dos divisores para a direita. Os respectivos quocientes são colocados abaixo do número à medida que são obtidos. A decomposição é concluída quando a última figura na coluna esquerda é 1:

570 │2
285 │

Dividindo por 2, o quociente é 285 que é divisível por 5, outro número primo, para terminar em 5.

570 │2
285 │5
57 │

O 57 é divisível entre 3, também primo, pois a soma de seus dígitos 5 +7 = 12 é um múltiplo de 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Finalmente, temos 19, que é um número primo, cujos divisores têm 19 e 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Ao obter o 1, podemos expressar 570 dessa maneira:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

E vemos isso com efeito, é o produto de 4 números primos.

Neste exemplo, começamos dividindo -se por 2, mas os mesmos fatores (em outra ordem) teriam sido obtidos se começassem a se dividir por 5, por exemplo.

Figura 2. O composto número 42 também pode ser quebrado por um diagrama em forma de árvore. Fonte: Wikimedia Commons.

Critérios de divisibilidade

Para quebrar um número composto em seus principais fatores, é necessário dividi -lo exatamente. Os critérios de divisibilidade entre números primos são regras que permitem saber quando um número é divisível entre outro exatamente, sem ter que levar ou provar.

-Divisibilidade entre 2

Todo o número de torque, aqueles que terminam em 0 ou uma figura de torque são divisíveis entre 2.

-Divisibilidade entre 3

Se a soma dos dígitos de um número for um múltiplo de 3, o número também e, portanto, divisível entre 3.

-Divisibilidade entre 5

Os números que terminam em 0 ou 5 são divisíveis entre 5.

-Divisibilidade entre 7

Um número é divisível entre 7 se, ao separar a última figura, multiplique por 2 e subtrair o número que permanece, o valor resultante é um múltiplo de 7.

Essa regra parece um pouco mais complicada do que as anteriores, mas na realidade não é tanto, então vemos um exemplo: será 98 divisível entre 7?

Pode atendê -lo: regra empírica: como aplicá -la, para que serve, exercícios resolvidos

Vamos seguir as instruções: separamos a última figura que é 8, multiplicamos por 2 que dá 16. O número deixado separando 8 é 9. Vamos subtrair 16 - 9 = 7. E como 7 é um múltiplo de si mesmo, 98 é divisível entre 7.

-Divisibilidade entre 11

Se a soma das figuras em torque (2, 4, 6 ...) a soma das figuras da posição ímpar (1, 3, 5, 7 ...) for subtraída e 0 ou um múltiplo de 11 for obtido, o O número é divisível por 11.

Os primeiros múltiplos de 11 são facilmente identificados: existem 11, 22, 33, 44 ... 99. Mas atenção, 111 não é, no entanto 110 sim.

Como exemplo, vamos ver se 143 é um múltiplo de 11.

Esse número tem 3 números, o único número de torque é 4 (o segundo), as duas figuras ímpares são 1 e 3 (primeiro e terceiro) e sua soma é 4.

Ambas as somas são subtraídas: 4 - 4 = 0 e como 0 é obtido, acontece que 143 é um múltiplo de 11.

-Divisibilidade entre 13

O número sem o dígito das unidades de 9 vezes deve ser subtraído. Se a conta fornecer 0 ou um múltiplo de 13, o número é um múltiplo de 13.

Como exemplo, verificaremos se 156 é um múltiplo de 13. O dígito das unidades é 6 e o ​​número que permanece sem ele é 15. Multiplamos 6 x 9 = 54 e agora subtrai 54 - 15 = 39.

Mas 39 é 3 x 13, portanto 56 é um múltiplo de 13.

Números primos uns com os outros

Dois ou mais números de primo ou compostos podem ser primos entre si ou de cobre. Isso significa que o único divisor comum que eles têm é 1.

Existem duas propriedades importantes a serem lembradas quanto ao cobre:

-Dois, três e mais números consecutivos são sempre primos.

-O mesmo pode ser dito de dois, três ou mais números ímpares consecutivos.

Por exemplo, 15, 16 e 17 são números primos entre si e também 15, 17 e 19.

Como saber quantos divisores um número composto tem

Um número primo tem dois divisores, o mesmo número e 1. E quantos divisores um número composto tem? Estes podem ser primos ou compostos.

Pode atendê -lo: prismas e pirâmides

Deixe n um número composto expresso em termos de sua decomposição canônica da seguinte forma:

N = aⁿ . b^m. c^p… R^k

Onde a, b, c ... r são os principais fatores e n, m, p ... k os respectivos expoentes. Bem, a quantidade de divisores C que tem n é dada por:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Com c = divisores primários + divisores compostos + 1

Por exemplo, 570, que é expresso da seguinte forma:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Todos os fatores primos são elevados para 1, portanto, 570 tem:

C = (1+1) (1+1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divisores

Desses 10 divisores, já conhecemos: 1, 2, 3, 5, 19 e 570. Faltam mais 10 divisores, que são números compostos: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 e 285. Eles estão observando a decomposição em fatores primos e também multiplicando combinações desses fatores.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Decompor em fatores primos os seguintes números:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Solução para

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Solução b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Solução c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2² x 3³

Solução d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Exercício 2

Descubra se os seguintes números são primos entre si:

6, 14, 9

Solução

-Os divisores de 6 são: 1, 2, 3, 6

-Quanto a 14, é divisível por: 1, 2, 7, 14

-Finalmente 9 tem como divisores: 1, 3, 9

O único divisor que eles têm em comum é 1, portanto são primos.

Referências

1. Baldor, a. 1986. Aritmética. Edições e distribuições Codex.
2. Byju's. Números primos e compostos. Recuperado de: byjus.com.
3. Números primo e compostos. Recuperado de: Profeyennyvivas a apresentação.arquivos.WordPress.com
4. Smartick. Critérios de divisibilidade. Recuperado de: Smartick.é.
5. Wikipedia. Números compostos. Recuperado de: em.Wikipedia.org.