Propriedades da função logarítmica, exemplos, exercícios

O Função logarítmica É uma relação matemática que associa cada número real positivo x Com seu logaritmo e em uma base para. Esse relacionamento atende aos requisitos para ser uma função: cada elemento X pertencente ao domínio tem uma imagem única.

Portanto:

f (x) = y = log_para x , Com um> 0 e diferente de 1.

figura 1. Gráfico da função logaritmo para base 10 (verde), base e (vermelha) e base 1.7 (roxo). Fonte: Wikimedia Commons.

As principais propriedades da função logarítmica são:

-Seu domínio é todo o reais maior que 0, sem incluir 0. Em outras palavras, não há logaritmo ou números negativos em qualquer base. Na forma de um intervalo:

Sol _F = (0, ∞+)

-O logaritmo de um número pode ser negativo, positivo ou 0, para que seu alcance ou rota seja:

RGO _F = (-∞, ∞+)

-A função logarítmica está sempre crescendo para um> 1 e diminuindo<1.

-O inverso de f (x) = log_para x é a função exponencial.

De fato, a função do logaritmo baseada em, é a função inversa da função potencial:

F^-1(x) = A^e

Desde o logaritmo baseado para de um número x, É o número e para o qual a base deve ser levantada para para obter x.

-O logaritmo base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = log_para x Sempre se cruze para o eixo X no ponto (1,0)

-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expresso como polinomial ou como um quociente destes. Além do logaritmo, esse grupo inclui funções trigonométricas e exponenciais, entre outras.

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Exemplos

A função logarítmica pode ser estabelecida através de várias bases, mas as mais usadas são 10 e e, onde e É o número de Euler igual a 2.71828 .. .

Quando a base 10 é usada, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, logaritmo vulgar, briggs ou simplesmente logaritmo para secar.

E se o número E for usado, é chamado de logaritmo neperiano, por John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos.

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A notação usada para cada um é a seguinte:

-Logaritmo decimal: log₁₀ x = log x

-LOGARITHM NEPERIAN: LN X

Quando outra base será usada, é absolutamente necessário. Por exemplo, se se trata de logaritmos na base 2, está escrito:

y = log₂ x

Vejamos o logaritmo número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:

Log 10 = 1

Ln 10 = 2.30259

registro₂ 10 = 3.32193

As calculadoras comuns trazem apenas logaritmos decimais (log) e logaritmo neperiano (função LN). Na internet, existem calculadoras com outras bases. De qualquer forma, o leitor pode verificar, com a ajuda da mesma, que com os valores anteriores é cumprida:

10¹ = 10

e^2.3026 = 10.0001

2^3.32193 = 10.0000

Pequenas diferenças decimais são devidas à quantidade de decimais tomados no cálculo do logaritmo.

As vantagens dos logaritmos

Entre as vantagens do uso dos logaritmos está a facilidade que eles fornecem para trabalhar com grandes números, usando seu logaritmo em vez do número diretamente.

Isso é possível porque a função logaritmo cresce mais lentamente à medida que os números são maiores, como apreciamos nos gráficos.

Portanto, mesmo no caso de números muito grandes, seus logaritmos são muito menores, e manipular pequenos números é sempre mais fácil.

Além disso, os logaritmos atendem às seguintes propriedades:

-produtos: log (a.b) = log a + log b

-Quociente: log (a/b) = log a - log b

-Poder: log a^b = b.log a

E, dessa maneira.

É por isso que os logaritmos permitem expressar números que variam em grandes faixas de valores, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade dos terremotos no Richter escala.

Pode atendê -lo: ângulos alternativos externos: exercícios e exercícios resolvidosFigura 2. Os logaritmos são usados ​​na escala Richter para quantificar a magnitude dos terremotos. A imagem mostra um edifício desmoronado em Concepción, Chile, durante o terremoto de 2010. Fonte: Wikimedia Commons.

Vejamos um exemplo do manuseio das propriedades dos logaritmos:

Exemplo

Encontre o valor de X na seguinte expressão:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Responder

Temos uma equação logarítmica aqui, tendo em vista o fato de que o desconhecido está no argumento do logaritmo. É resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.

Começamos colocando todos os termos que contêm "x" à esquerda da igualdade, e aqueles que contêm apenas números à direita:

log (5x+1) - log (2x -1) = 1

À esquerda, temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = 1

No entanto, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Então:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = log 10

Para que a igualdade seja cumprida, o argumentos dos logaritmos devem ser os mesmos:

(5x+1)/ (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

Exercício de aplicação: escala de Richter

Em 1957, um terremoto ocorreu no México cuja magnitude era 7.7 na escala Richter. Em 1960, outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, 9.5.

Calcule quantas vezes o terremoto chileno foi mais intenso que o do México, sabendo que a magnitude m_R Na escala Richter, é dada pela fórmula:

M_R = log (10⁴ Yo)

Solução

A magnitude na escala Richter de um terremoto é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, já que temos as magnitudes Richter. Vamos fazer isso passo a passo:

Pode atendê -lo: números primos: características, exemplos, exercícios

-México: 7.7 = log (10⁴ Yo)

Como o inverso da função logaritmo é o exponencial, aplicamos isso em ambos os lados da igualdade com a intenção de limpar i, que é encontrada no argumento do logaritmo.

Como são logaritmos decimais, a base é 10. Então:

No prazo da direita, 10 e log (10⁴ I) Eles são cancelados (como na raiz quadrada e quadrada), sendo: saindo:

10 ^7.7 = 10⁴ Yo

A intensidade do terremoto do México foi:

Yo_M = 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

 -Pimenta: 9.5 = log (10⁴ Yo)

O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno eu_CH:

Yo_CH = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

 Agora podemos comparar as duas intensidades:

Yo_CH / Yo_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

 Yo_CH = 63.1. Yo_M

O terremoto do Chile foi cerca de 63 vezes mais intenso que o México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente que a intensidade; portanto, uma diferença de 1 em magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.

A diferença entre as magnitudes de ambos os terremotos é 1.8, portanto, poderíamos esperar uma diferença nas intensidades mais próximas de 100 do que 10, como aconteceu efetivamente.

De fato, se a diferença tivesse sido exatamente 2, o terremoto chileno teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano.

Referências

1. Carena, m. 2019. Manual de matemática da pré -universidade. Universidade Nacional da Costa.
2. Figuera, j. 2000. Matemática 1ª. Ano diversificado. Edições Co-Bo.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Cálculo de uma variável. 9NA. Edição. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.