Cálculo jovem de módulos, aplicações, exemplos, exercícios

Ele Módulo jovem o Módulo de elasticidade é a constante que relaciona o esforço de tração ou compressão ao respectivo aumento ou diminuição do comprimento que o objeto enviou a essas forças.

As forças externas aplicadas aos objetos podem não apenas mudar seu status de movimento, mas também são capazes de mudar sua forma ou até quebrar ou fraturá -los.

figura 1. Os movimentos do gato estão cheios de elasticidade e graça. Fonte: Pixabay.

O módulo de Young serve para estudar as mudanças produzidas em um material quando uma força de tração ou compressão é aplicada a um nível externo. É muito útil em questões como engenharia ou arquitetura.

O modelo deve seu nome ao cientista britânico Thomas Young (1773-1829), que foi quem realizou estudos materiais propondo uma medida da rigidez de diferentes materiais.

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Qual é o modelo de Young?

O modelo de Young é uma medida de rigidez. Em materiais com baixa rigidez (vermelho), há mais deformação diante de uma extensão ou carga de compreensão. Tigraan/CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/4.0)

Quanto um objeto pode ser deformado? Isso é algo que os engenheiros geralmente querem saber. A resposta dependerá das propriedades do material e das dimensões que você tem.

Por exemplo, duas barras feitas de alumínio podem ser comparadas com diferentes dimensões. Cada um tem uma área diferente de seção transversal e comprimento, e ambos estão sujeitos à mesma força de tração.

O comportamento esperado será o seguinte:

- Uma espessura maior (seção transversal) da barra, menos alongamento.

- Uma duração inicial maior, maior trecho final.

Isso faz sentido, porque, afinal, a experiência indica que não é o mesmo para tentar deformar uma liga de borracha do que tentar fazê -lo com uma haste de aço.

Um parâmetro chamado módulo de elasticidade do material é um indicativo de sua resposta elástica.

Como é calculado?

Sendo médico, Young queria saber o papel da elasticidade das artérias no bom desempenho da circulação sanguínea. De suas experiências, ele concluiu o seguinte relacionamento empírico:

O esforço é proporcional à deformação, desde que o limite elástico do material não seja excedido.

É possível representar graficamente o comportamento de um material antes da aplicação de um esforço, como pode ser visto na figura a seguir.

Figura 2. Gráfico de estresse versus deformação para um material. Fonte: Self feito.

Da origem ao ponto

Na primeira seção, que vai da origem ao ponto A, o gráfico é uma linha reta. Existe a lei válida de Hooke:

F = kx

Onde F É a magnitude da força que retorna ao material ao seu estado original, x É a deformação experimentada por isso e k É uma constante que depende do objeto em esforço.

As deformações consideradas aqui são pequenas e o comportamento é perfeitamente elástico.

De a para B

De A a B, o material também se comporta elástico, mas a relação entre esforço e deformação não é mais linear.

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De B ​​a C

Entre os pontos B e C, o material experimenta deformação permanente, sendo incapaz de retornar ao seu estado original.

De c

Se o material continuar a se estender do ponto C, finalmente sofre uma pausa.

Matematicamente, as observações de Young podem ser resumidas da seguinte forma:

Esforço ∝ deformação

Onde a constante de proporcionalidade é precisamente o módulo de elasticidade do material:

Esforço = módulo de elasticidade x deformação

Existem muitas maneiras de deformar os materiais. Os três tipos de esforço mais comuns aos quais enviar um objeto são:

- Tensão ou alongamento.

- Compressão.

- Corte ou cisalhamento.

Um esforço para o qual os materiais são comumente submetidos, por exemplo, em construção civil ou peças automotivas, é tração.

Fórmulas

Quando um objeto de comprimento l é esticado ou tenso, está passando por uma tração que causa uma variação em seu comprimento. Um esquema dessa situação é representado na Figura 3.

Isso exige que uma força de magnitude F por unidade de área seja aplicada às suas extremidades, para causar alongamento, para que seu novo comprimento se torne L + DL.

O esforço feito para deformar o objeto será precisamente essa força por unidade de área, enquanto o Deformação unitária experiente é ΔL/L.

Figura 3. Um objeto em tração ou alongamento, experimenta um alongamento. Fonte: Self feito.

Denotando o módulo de Young como E, E de acordo com o que foi dito acima:

 Por que a deformação unitária é especificamente escolhida e não simplesmente deformação para secar?

A resposta está no fato de que a deformação da unidade indica a deformação relativa em relação ao comprimento original. Não é o mesmo que um alongamento de 1 m ou role 1 cm, de modo que uma estrutura de 100 metros de comprimento é igualmente deformada 1 cm.

Para o funcionamento adequado de peças e estruturas, há uma tolerância em termos de deformações relativas permitidas.

Equação para calcular a deformação

Se a equação anterior for analisada da seguinte forma:

É fácil se convencer de que, para uma certa força F, ela atende às observações que Young fez e que foram descritos acima:

- Uma área maior de seção transversal, menor deformação.

- Um comprimento maior, maior deformação.

- Um módulo jovem mais alto, menor deformação.

As unidades de esforço correspondem a Newton/Square Meter (N/M²). Eles também são as unidades de pressão, que no sistema internacional são nomeadas Pascal. Deformação unitária ΔL/L em vez disso é adimensional porque é o quociente entre dois comprimentos.

As unidades do sistema inglês são LB/PLG² E eles também são usados ​​com muita frequência. O fator de conversão para ir de um para outro é: 14.7 lb/plg² = 1.01325 x 10⁵ PA

Isso leva ao jovem módulo também tem unidades de pressão. Finalmente, a equação anterior pode ser expressa para limpar E:

Formulários

Na ciência dos materiais, a resposta elástica destes diante de vários esforços é importante para selecionar o mais apropriado em cada aplicação, seja para fabricar a asa de um avião ou um rolamento automotivo. As características do material a ser usado são decisivas na resposta esperada.

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Para escolher o melhor material, é necessário conhecer os esforços aos quais uma determinada peça será submetida; e, consequentemente, selecione o material que possui as propriedades mais consistentes com o design.

Por exemplo, a asa de um avião deve ser resistente, leve e capaz de flexão. Os materiais usados ​​na construção de edifícios devem resistir aos movimentos sísmicos em grande parte, mas também devem ter alguma flexibilidade.

Os engenheiros que projetam as asas dos aviões e também aqueles que escolhem os materiais de construção devem usar gráficos de deformação do esforço, como o mostrado na Figura 2.

É possível realizar as medições para determinar as propriedades elásticas mais relevantes de um material em laboratórios especializados. Assim, existem evidências padronizadas às quais as amostras são submetidas, às quais vários esforços são aplicados e depois medindo as deformações resultantes.

Exemplos

Como acima mencionado, E Não depende do tamanho ou forma do objeto, mas das características do material.

Outra nota muito importante: para que a equação dada acima seja aplicável, o material deve ser isotrópico, isto é, suas propriedades devem permanecer invariáveis ​​em toda a sua extensão.

Nem todos os materiais são isotropos: existem cuja resposta elástica depende de certos parâmetros direcionais.

A deformação analisada nos segmentos anteriores é apenas um dos muitos aos quais um material pode ser enviado. Por exemplo, em termos de esforço de compressão, é o oposto do esforço de tensão.

As equações dadas se aplicam a ambos os casos e quase sempre os valores de E Eles são os mesmos (materiais isotrópicos).

Uma exceção notável é concreto ou cimento, que resiste a uma melhor compressão do que a tração. Portanto, deve ser reforçado quando a resistência ao alongamento for necessária. O aço é o material indicado para isso, pois resiste muito bem ao alongamento ou trações.

Como exemplos de estruturas sob esforços são as colunas de edifícios e arcos, elementos clássicos de construção em muitas civilizações antigas e modernas.

Figura 4. Pont Julien, uma construção romana do ano 3 para.d.C. No sul da França.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um fio de aço de 2 aço.0 m de comprimento em um instrumento musical tem um raio de 0.03 mm. Quando o cabo está sob uma tensão de 90 n: quanto seu comprimento muda?Facto: O jovem módulo de aço é 200 x 10⁹ N/m²

Solução

É necessário calcular a seção transversal A = πr² = π. (0.03 x 10^-3 m)² = 2.83 x 10^-9 m²

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O esforço é a tensão por unidade de área:

Portanto ΔL = 0.16 x 2 m = 0.32 m

Como a corda está sob tensão, isso significa que ela se alonga.

O novo comprimento é l = l_qualquer + DL, onde eu_qualquer É a duração inicial:

L = 2.32 m

Exercício 2

Uma coluna de mármore, cuja área de seção transversal é 2.0 m² detém uma massa de 25.000 kg. Encontrar:

a) O esforço na coluna.

b) deformação unitária.

c) quanto é a coluna se sua altura for 12 m?

Facto: Módulo Young de mármore é 50 x 10⁹ N/m²

Solução

a) O esforço na coluna se deve ao peso dos 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9.8 m/s² = 245.000 n

Portanto, o esforço é:

b) A deformação da unidade é ΔL/L:

c) ΔL é a variação do comprimento, dada por:

ΔL = 2.45 x 10^-6 x 12 m = 2.94 x10^-5 M = 0.0294 mm.

Não se espera que a coluna de mármore seja significativa. Observe que, embora o módulo jovem seja menor em mármore do que em aço e que a coluna também suporta uma força muito maior, seu comprimento quase varia.

Por outro lado, na corda do exemplo anterior, a variação muito mais apreciável, embora o aço tenha um módulo jovem muito maior.

Na coluna, sua grande área de seção transversal intervém, e é por isso que é muito menos deformável.

Sobre Thomas Young

1822 Retrato de Thomas Young. Thomas Lawrence / Domínio Público

O módulo de elasticidade recebe seu nome em homenagem a Thomas Young (1773-1829), versátil científico britânico que fez grandes contribuições para a ciência em inúmeras áreas.

Como físico, Young não apenas estudou a natureza ondulada da luz, revelada com o famoso experimento de fenda dupla, mas também um médico, linguista e até contribuiu para decifrar parte dos hieróglifos egípcios da famosa Rosetta Stone.

Ele era membro da Royal Society, da Royal Academy of Sciences da Suécia, da Academia Americana de Artes e Ciências ou da Academia de Ciências da França, entre outras nobres instituições científicas.

No entanto, é digno de nota que o conceito de modelo já foi desenvolvido anteriormente por Leonhar Euler (1707-1873) e que cientistas como Giordano Riccati (1709-1790) já realizaram algum experimento que teria sido prática do jovem modelo.

Referências

1. Bauer, w. 2011. Física para engenharia e ciências. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, d.  2006. Física: Princípios com aplicações. Sexta edição. Prentice Hall. 238-249.