Conceito de distribuição binomial, equação, características, exemplos

O distribuição binomial É uma distribuição de probabilidades pela qual a probabilidade de ocorrência de eventos é calculada, desde que ocorram sob duas modalidades: sucesso ou falha.

Essas denominações (sucesso ou fracasso) são completamente arbitrárias, pois não significam necessariamente coisas boas ou ruins. Durante este artigo, indicaremos a forma matemática da distribuição binomial e, em seguida, o significado de cada termo será explicado em detalhes.

figura 1. O lançamento de um dado é um fenômeno que pode ser modelado por distribuição binomial. Fonte: Pixabay.

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Equação

 A equação é a seguinte:

Com x = 0, 1, 2, 3 .. .n, onde:

- P (x) é a probabilidade de ter exatamente x sucessos entre n tentativas ou ensaios.

- x É a variável que descreve o fenômeno de interesse, correspondente ao número de sucessos.

- n O número de tentativas

- p É a probabilidade de sucesso em 1 tentativa

- q É a probabilidade de falha em 1 tentativa, portanto Q = 1 - P

O símbolo de admiração "!”É usado para notação fatorial, de modo que:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

E assim por diante.

Conceito

A distribuição binomial é muito apropriada para descrever situações nas quais um evento ocorre ou não ocorre. Se ocorrer é um sucesso e, se não, é um fracasso. Além disso, a probabilidade de sucesso deve sempre ser constante.

Existem fenômenos que se encaixam nessas condições, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Nesse caso, podemos dizer que "sucesso" é obter um rosto. A probabilidade é ½ e não muda, não importa quantas vezes a moeda seja lançada.

O lançamento de um dado honesto é outro bom exemplo, além de categorizar em boas peças e peças com defeito uma certa produção e obter um vermelho em vez de um preto.

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Caracteristicas

Podemos resumir as características da distribuição binomial da seguinte maneira:

- Qualquer evento ou observação, é extraído de uma população infinita sem substituição ou uma população finita com substituição.

- Apenas duas opções são consideradas, mutuamente exclusivas: sucesso ou fracasso, conforme explicado no início.

- A probabilidade de sucesso deve ser constante em qualquer observação feita.

- O resultado de qualquer evento é independente de qualquer outro evento.

- A média da distribuição binomial é n.p

- O desvio padrão é:

Os exemplos anteriores atendem a essas condições, embora existam certas restrições para aplicar.

Exemplo de aplicação

Vamos fazer um evento simples, que pode ser para obter 2 rostos 5 lançando um DICE honesto 3 vezes. Quais são as probabilidades que em 3 lança 2 faces de 5 são obtidas?

Existem várias maneiras de alcançá -lo, por exemplo, que:

- Os dois primeiros lançamentos são 5 e o último não.

- O primeiro e o último são 5, mas não o do meio.

- Os dois últimos lançamentos são 5 e o primeiro não.

Tome como exemplo a primeira sequência descrita e calcule sua probabilidade de ocorrência. A probabilidade de obter uma face 5 no primeiro lançamento é de 1/6 e também no segundo, pois são eventos independentes.

A probabilidade de obter outra face de 5 no último lançamento é 1 - 1/6 = 5/6. Portanto, a probabilidade de que essa sequência seja lançada é o produto das probabilidades:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

E as outras duas seqüências? Eles têm probabilidade idêntica: 0.023.

E como temos um total de 3 sequências bem -sucedidas, a probabilidade total será:

P (2 faces 5 em 3 lançamentos) = Número de seqüências possíveis x probabilidade de uma sequência específica = 3 x 0.023 = 0.069.

Agora vamos tentar o binomial, no qual está feito:

Pode servir você: caixa de mackinder

x = 2 (obtenha 2 lados de 5 em 3 lançamentos é sucesso)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Exercícios resolvidos

Existem várias maneiras de resolver os exercícios de distribuição binomial. Como vimos, o mais simples pode ser resolvido dizendo quantas sucessões de sucesso existem e, em seguida, multiplicando pelas respectivas probabilidades.

No entanto, quando há muitas opções, os números se tornam maiores e é preferível usar a fórmula.

E se os números forem ainda mais altos, existem meninos da distribuição binomial. No entanto, atualmente, eles se tornaram obsoletos em favor dos muitos tipos de calculadoras que facilitam o cálculo.

Exercício 1

Um casal tem filhos com uma probabilidade de 0,25 de ter sangue do tipo ou. O casal tem um total de 5 filhos. Resposta: a) Esta situação se encaixa em uma distribuição binomial?, b) Qual é a probabilidade de que exatamente dois sejam do tipo ou?

Solução

a) A distribuição binomial é ajustada, pois atende às condições estabelecidas nas seções anteriores. Existem duas opções: ter sangue tipo ou "sucesso", embora não tenha "falha", e todas as observações são independentes.

b) Você tem a distribuição binomial:

Em que os seguintes valores são substituídos:

x = 2 (obtenha 2 crianças com sangue do tipo O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Exemplo 2

Uma universidade afirma que 80% dos estudantes pertencentes ao time de basquete universitário graduado. Uma investigação examina o registro acadêmico de 20 estudantes pertencentes ao referido time de basquete que se matriculou na universidade há muito tempo.

Desses 20 alunos, 11 terminaram a corrida e 9 deixaram os estudos.

Figura 2. Quase todos os alunos que jogam para a equipe da universidade conseguem se formar. Fonte: Pixabay.

Se a declaração da universidade for verdadeira, o número de estudantes que jogam basquete e que conseguem se formar, entre 20, devem ter uma distribuição binomial com N = 20 e P = 0,8. Qual é a probabilidade de exatamente 11 dos 20 jogadores se formar?

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Solução

Na distribuição binomial:

Os seguintes valores devem ser substituídos:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Exemplo 3

Os pesquisadores conduziram um estudo para determinar se houve diferenças significativas nas taxas de graduação entre estudantes de medicina admitidos por meio de programas especiais e estudantes de medicina admitidos através dos critérios regulares de admissão.

Verificou -se que a taxa de graduação foi de 94% para os alunos admitidos por meio de programas especiais (com base em dados dos dados do Jornal da Associação Médica Americana).

Se 10 dos alunos dos programas especiais forem selecionados aleatoriamente, encontre a probabilidade de que pelo menos 9 deles se graduassem.

b) seria incomum selecionar aleatoriamente 10 alunos dos programas especiais e obtendo que apenas 7 deles se formaram?

Solução

A probabilidade de um aluno admitido por meio de um programa especial graduado é 94/100 = 0.94. Eles são escolhidos N = 10 Alunos dos programas especiais e você deseja descobrir a probabilidade de que pelo menos 9 deles se graduem.

Os seguintes valores são substituídos na distribuição binomial:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Essa é a probabilidade de que exatamente 9 sejam graduados, mas eles também podem se formar exatamente 10:

 P (pelo menos 9 graduação) = p (9) + p (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

b)
Sim, é incomum, uma vez que a probabilidade obtida é muito pequena.

Referências

1. Berenson, m. 1985. Estatística para administração e economia. Inter -American S.PARA.
2. Mathworks. Distribuição binomial. Recuperado de: é.Mathworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Estatística para administração e economia. 3º. edição. Grupo editorial da Iberoamerica.
4. Moore, d. 2005. Estatísticas básicas aplicadas. 2º. Edição.
5. TRIOLA, m. 2012. Estatísticas elementares. 11º. Ed. Pearson Education.
6. Wikipedia. Distribuição binomial. Recuperado de: é.Wikipedia.org