Soma de polinômios, como é feito, exemplos, exercícios

O Soma dos polinômios É a operação que consiste em adicionar dois ou mais polinômios, resultando em outro polinômio. Para realizá -lo, é necessário adicionar os termos da mesma ordem de cada um dos polinômios e indicar a soma resultante.

Primeiro, revisamos brevemente o significado de "Termos da mesma ordem". O polinomial de alguém consiste em somas e/ou subtração de termos.

figura 1. Para adicionar dois polinômios, é necessário encomendá -los e depois reduzir os termos semelhantes. Fonte: Pixabay + Wikimedia Commons.

Os termos podem ser produtos de números reais e uma ou mais variáveis, representadas com letras, por exemplo: 3x² e -√5.para²Bc³ São termos.

Bem, os termos da mesma ordem são aqueles que têm o mesmo expoente ou poder, embora possam ter coeficientes diferentes.

-Os termos de ordem igual são: 5x³, √2 x³ e -1/2x³

-Termos de ordens diferentes: -2x^-2, 2xy^-1 e √6x²e

É importante ter em mente que apenas os termos da mesma ordem podem ser adicionados ou subtraídos, uma operação que é conhecida como redução. Caso contrário, a soma é simplesmente deixada indicada.

Uma vez que o conceito de termos da mesma ordem é esclarecido, os polinômios são adicionados seguindo estas etapas:

-Ordem Primeiro, os polinômios a acrescentar, tudo da mesma maneira, aumentando ou diminuindo, ou seja, com os poderes do menos para o maior ou vice -versa.

-Completar, Caso falta qualquer poder na sequência.

-Reduzir Os termos semelhantes.

-Indicar A soma resultante.

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Exemplos de soma polinomial

Começaremos adicionando dois polinômios com uma única variável chamada x, Por exemplo, os polinômios p (x) e q (x) dados por:

P (x) = 2x² - 5x⁴ + 2x -x⁵ - 3x³ +12

Q (x) = x⁵- 25 x + x²

Seguindo as etapas descritas, começa ordenando -as diminuindo, que é a maneira mais usual:

P (x) = -x⁵- 5x⁴  - 3x³  + 2x² + 2x +12

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Q (x) = x⁵+ x² - 25x

Polinomial q (x) não está completo, é visto que poderes com o expoente 4, 3 e 0. O último é simplesmente o termo independente, aquele que não tem carta.

Q (x) = x⁵+ 0x⁴ + 0x³ + x² - 25x + 0

Uma vez feito esta etapa, eles estão prontos para adicionar. Você pode adicionar os termos semelhantes e, em seguida, indicar a soma ou colocar os polinômios ordenados um pelo outro e reduzir por colunas, dessa maneira:

- x⁵ - 5x⁴  - 3x³ + 2x² + 2x +12

+ x⁵ + 0x⁴ + 0x³  +  x²  - 25x + 0     +

--

0x⁵-5x⁴ - 3x³  +3x² - 23x + 12 = p (x) + q (x)

É importante observar que, quando adicionado, é feito com algebricamente respeitando a regra de sinais, dessa maneira 2x + (-25 x) = -23x. Isto é, se os coeficientes tiverem sinais diferentes forem subtraídos e o resultado carrega o sinal do principal.

Adicione dois ou mais polinômios com mais de uma variável

Quando se trata de polinômios com mais de uma variável, um deles é escolhido para pedir. Por exemplo, suponha que ele seja solicitado para adicionar:

R (x, y) = 5x²  - 4y² +  8xy - 6y³ 

E:

T (x, y) = ½ x²- 6y²  - 11xy + x³e

Uma das variáveis ​​é escolhida, por exemplo, o X para ordenar:

R (x, y) = 5x² +  8xy - 6y³  - 4y²

T (x, y) = + x³y + ½ x² - 11xy - 6y² 

Os termos ausentes são concluídos imediatamente, segundo os quais cada polinômio tem:

R (x, y) = 0x³e + 5x² +  8xy - 6y³  - 4y²

T (x, y) = + x³y + ½ x² - 11xy + 0y³ - 6y² 

E ambos estão prontos para reduzir termos semelhantes:

0x³e + 5x² +  8xy - 6y³  - 4y²

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+ x³y + ½ x² - 11xy + 0y³ - 6y²       +

-

+ x³Y + 11/2x² - 3xy - 6y³  - 10y²    = R (x, y) + t (x, y)

Exercícios da soma polinomial

- Exercício 1

Na próxima quantia dos polinômios, indique o termo que deve ficar em branco para obter a soma polinomial:

-5x⁴  + 0x³ +  2x²         + 1

x⁵  + 2x⁴             - 21x² + 8x - 3

2x⁵             +9x³             -14x

-

-6x⁵+10x⁴ -0x³  + 5x²   - 11x + 21

Solução

Para obter -6x⁵ Um termo do formulário de machado é necessário⁵, tal que:

A + 1+ 2 = -6

Portanto:

A = -6-1-2 = -9

E o termo procurado é:

-9x⁵

-Prosseguir de uma maneira semelhante para encontrar o restante dos termos. Aqui está o expoente 4:

-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13

O termo ausente é: 13x⁴.

-Para x poderes³ É imediato que o termo deve ser -9x³, Dessa maneira, o coeficiente de termo cúbico é 0.

-Quanto aos poderes quadrados: a + 8 -14 = -11 → a = -11 -8 + 14 = -5 e o termo é -5x².

-O termo linear é obtido por A +8 -14 = -11 → A = -11 + 14 -8 = -5, sendo o termo ausente -5x.

-Finalmente, o termo independente é: 1 -3 + a = -21 → a = -19.

- Exercício 2

Um terreno plano é cercado como mostrado na figura. Encontre uma expressão para:

a) o perímetro e

b) sua área, em termos de comprimentos indicados:

Figura 2. Um terreno plano é cercado pela forma e as dimensões indicadas. Fonte: f. Zapata.

Solução para

O perímetro é definido como a soma dos lados e contornos da figura. Começando no canto inferior esquerdo, na direção das mãos do relógio, você tem:

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Perímetro = y + x + comprimento semicírculo + z + comprimento diagonal + Z + z + x

O semicírculo tem um diâmetro igual a x. Como o raio é metade do diâmetro, ele precisa:

Rádio = X/2.

A fórmula para a duração de uma circunferência completa é:

L = 2π x rádio

Então:

Comprimento semicírculo = ½. 2π (x/2) = πx/2

Por sua parte, a diagonal é calculada com o teorema de Pitágoras aplicado aos lados: (x+y), que é o lado vertical e z, que é a horizontal:

Diagonal = [(x+y)² + z²]^1/2

Essas expressões são substituídas no perímetro, para obter:

Perímetro = y + x + πx/2 + z + [(x + y)² + z²]^1/2+ z + x + z

Termos semelhantes são reduzidos, pois a soma exige que o resultado seja simplificado ao máximo:

Perímetro = y + [x + π (x/2) + x] + z + z + z + [(x + y)² + z²]^1/2 = y + (2 + π /2) x + 3z

Solução b

A área resultante é a soma da área do retângulo, o semicírculo e o triângulo certo. As fórmulas para essas áreas são:

-Retângulo: Base x altura

-Semicírculo: ½ π (rádio)²

-Triângulo: Base x altura /2

Área de retângulo

(x+y). (x+z) = x² + Xz + yx + yz

Área semicírculo

½ π (x/2)² = π x² / 8

Área do triângulo

½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy

Área total

Para encontrar a área total, são adicionadas as expressões encontradas para cada área parcial:

Área total = x² + Xz + yx + yz + (π x² / 8) + ½ zx + ½ zy

E finalmente todos os termos semelhantes:

Área total = (1 + π/8) x² + 3/2 xy + 3/2yz + yx

Referências

1. Baldor, a. 1991. Álgebra. Editorial cultural venezuelano.PARA.
2. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
3. A matemática é divertida. Polinômios de adição e subtração. Recuperado de: Mathsisfun.com.
4. Instituto Monterey. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: MontereyInstitute.org.
5. UC Berkeley. Álgebra de polinômios. Recuperado de: matemática.Berkeley.Edu.