Exemplos de razões trigonométricas, exercícios e aplicações

As Razões trigonométricas Eles são os quocientes ou motivos que podem ser feitos com o valor dos lados de um triângulo certo. Esses lados são: duas categorias que formam 90º entre si e a hipotenusa, que forma o ângulo agudo θ com uma das categorias.

6 quocientes podem ser formados. Seus nomes e respectivos abreviações são:

• Sleew (sen)
• Coseno (COS)
• Tangente (TG ou Tan)
• Cotangent (ctg ou cotan)
• Secante (SEC) e
• Harvester (harmonia)

Todos eles se referem ao ângulo θ, como mostrado na figura a seguir:

figura 1. As razões trigonométricas do ângulo agudo θ. Fonte: f. Zapata.

As razões trigonométricas básicas de ângulo θ são sin θ, cos θ e tan θ, enquanto as razões restantes podem ser expressas em termos desses três. A partir da foto anterior, você pode ver que:

• Sec θ = 1/ cos θ
• dano θ = 1/ sin θ
• COT θ = 1/TG θ

O tamanho dos lados do triângulo não influencia o valor das razões, pois dois triângulos cujos ângulos medem os mesmos são triângulos semelhantes e os respectivos quocientes entre os lados têm o mesmo valor.

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Exemplo

Por exemplo, vamos calcular as razões trigonométricas do ângulo θ nos seguintes triângulos:

Figura 2. Dois triângulos semelhantes têm as mesmas razões trigonométricas de seus ângulos. Fonte: Stewart, J.Preccculment: Matemática para Cálculo.

Para o pequeno triângulo, temos as três razões básicas do ângulo θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

E agora vamos calcular as três razões básicas de θ com o grande triângulo:

sin θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

Tg θ = 30/40 = ¾

Um detalhe importante a considerar é o seguinte: Ambos sin θ e cos θ são menores que 1, uma vez que as categorias sempre medem menos que a hipotenusa. Em efeito:

sin θ = 3/5 = 0.6

cos θ = 4/5 = 0.8

Exercícios resolvidos

Nos exercícios a seguir, é solicitado que resolva o triângulo certo, o que significa encontrar o comprimento de seus três lados e a medida de seus ângulos internos, um dos quais sempre mede 90º.

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O teorema de Pitágoras se aplica aos triângulos retângulo e é muito útil quando dois lados são conhecidos e o ausente deve ser determinado. O teorema diz:

Hipotenusa² = Cateto oposto² + Cateto adjacente²

Podemos verificar o teorema de Pitágoras com o pequeno triângulo da Figura 2, cujas pernas são 3 e 4. A ordem em que as categorias são tomadas não importa. Aplicando o teorema que temos:

Hipotenusa² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Portanto, a hipotenusa é:

Hipotenuse = √25 = 5

- Exercício 1

Calcule as razões trigonométricas dos ângulos mostrados nos seguintes triângulos:

Figura 3.- Triângulos para o ano resolvido 1. Fonte: Carena, M. 2019. Manual de matemática da pré -universidade.

Solução para

Este triângulo é o mesmo na Figura 3, mas eles nos pedem as razões trigonométricas do outro ângulo agudo, denotado α. A declaração não oferece o valor do hipotenusa, no entanto, pela aplicação do teorema de Pitágoras, sabemos que vale 5.

Os motivos podem ser calculados diretamente a partir da definição, tomando cuidado ao selecionar a perna que é o oposto do ângulo α para calcular sen α. Vamos ver:

• sin α = 4/5
• cos α = 3/5
• TG α = 4/3
• berço α = ¾
• Sec α = 1/(3/5) = 5/3
• dano α = 1/(4/5) = 5/4

E como podemos ver, os valores das razões trigonométricas foram trocadas. De fato, α e θ são ângulos complementares, o que significa que eles adicionam 90º. Nesse caso, é cumprido que sen α = cos θ e assim por diante por outros motivos.

Solução b

Vamos calcular a hipotenusa do triângulo através do teorema de Pitágoras:

Hipotenusa² = 20² + vinte e um² = 841

√841 = 29

Então as 6 razões trigonométricas do ângulo β são:

• Sen β = 20/29
• cos β = 21/29
• TG β = 20/21
• COT β = 21/20
• Sec β = 1/(21/29) = 29/21
• dano β = 1/(20/29) = 20/29

Pode atendê -lo: operações combinadas

- Exercício 2

a) Encontre o valor de x na figura.

b) Calcule o perímetro dos 3 triângulos mostrados.

Figura 4. Triângulos para o ano resolvido 2. Fonte: Stewart, J. Preccculment: Matemática para Cálculo.

Solução para

Na figura, podemos identificar vários triângulos, em particular o triângulo retângulo da esquerda, que tem uma categoria igual a 85 e o ângulo agudo 60º.

Figura 5. O triângulo à esquerda.

Com as informações deste triângulo, podemos calcular o lado B. Não é a medida que a declaração pergunta, mas saber que seu valor é uma etapa anterior.

Para determinar o motivo apropriado é Tg 60 º = 85 /B, pois B é a perna adjacente a 60 ° e 85 é o oposto do referido ângulo. Portanto:

B = 85 / tg 60º = 85 / √3

Uma vez conhecido b, usaremos o triângulo retângulo grande e externo, que tem um lado comum com o triângulo anterior: aquele que mede 85. Este é o cateto oposto ao ângulo de 30º.

Figura 6. O triângulo externo, do qual uma parte da base já é conhecida.

De Ali:

Cateto adjacente a 30º = (85/√3) + x

Agora podemos aumentar o seguinte:

85 / [(85 / √3) + x] = Tg 30º

O que há entre colchetes multiplique os 30º TG:

85 = [(85/√3) + x]. TG 30º

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

85 = TG 30º. (85/√3) + x. TG 30º

Portanto:

x.TG 30º = 85 - TG 30º. (85/√3) = 85 [1 - TG 30º . (1/√3)] = 85 . (2/3) = 170/3

Substituindo o valor TG 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98.quinze

Solução b

Perímetro do pequeno triângulo

Seja h₁ A hipotenusa deste triângulo, que pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras ou por uma razão trigonométrica, por exemplo, cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ h₁ = (85/√3) ÷ cos 60º = 98.1

Para encontrar P, o perímetro deste triângulo, simplesmente adicionamos os 3 lados:

Pode servir a você: Estatística descritiva: história, características, exemplos, conceitos

P = 85 + (85/√3) + 98.1 = 232.2

Perímetro do triângulo externo

Seja h₂ à hipotenusa do triângulo externo:

Sen 30º = 85 ÷ h₂  

h₂ = 85 ÷ sin 30º = 170

Para este triângulo, o perímetro é:

P = 85 + [(85/√3) + 98.15] + 170 = 402.22

Perímetro do triângulo não -recto

Deste triângulo, já conhecemos todos os seus lados:

P = x + h₁ + h₂ = 98.15 + 98.15 + 170 = 366.3

Aplicações de razões trigonométricas

Razões trigonométricas têm numerosas aplicações práticas, por exemplo, alturas podem ser calculadas.

Suponha que uma torre de água esteja a 325 pés de um edifício. Um observador localizado em uma janela nota que o ângulo de elevação da extremidade superior da torre é de 39 º, enquanto o ângulo de depressão com o qual a base da torre é visto é 25º. Ele pergunta:

a) Qual é a altura da torre?

b) Quanto é a janela?

Figura 7. Esquema para calcular a altura da vista torre de um edifício. Fonte: Stewart, J. Preccculment: Matemática para Cálculo.

Solução para

Do Cateto oposto a 39 do triângulo superior, temos uma parte da resposta:

Figura 8. Triângulo para exercícios de aplicação. Fonte: f. Zapata.

h₁/325 = TG 39º → H₁ = 325 . TG 39º pés = 263.2 pés

De uma maneira semelhante, temos o resto da altura da torre, chamado H₂ Do triângulo inferior:

h₂/325 = TG 25º → H₂ = 325 . TG 25º pés = 151.6 pés

A altura total da torre é H₁ + h₂ = 263.2 + 151.6 pés = 414.7 pés.

Solução b

A janela está precisamente em uma altura h₂ do solo:

h₂ = 151.6 pés.

Referências

1. Carena, m. 2019. Manual de matemática da pré -universidade. Universidade Nacional da Costa.
2. Hoffman, J. Seleção de questões de matemática. Volume 3.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.