Propriedades da igualdade

Quais são as propriedades da igualdade?

As Propriedades da igualdade Eles se referem ao relacionamento entre dois objetos matemáticos, sejam números ou variáveis. É indicado pelo símbolo "=", que sempre vai no meio desses dois objetos. Essa expressão é usada para estabelecer que dois objetos matemáticos representam o mesmo objeto; Em outra palavra, esses dois objetos são a mesma coisa.

Há casos em que é trivial usar a igualdade. Por exemplo, fica claro que 2 = 2. No entanto, quando se trata de variáveis, não é mais trivial e tem usos específicos. Por exemplo, se você precisar y = x e, por outro lado, x = 7, pode -se concluir que y = 7 também.

O exemplo anterior é baseado em uma das propriedades da igualdade, como será visto em breve. Essas propriedades são indispensáveis ​​para resolver equações (igualdades que envolvem variáveis), que formam uma parte muito importante na matemática.

Quais são as propriedades da igualdade?

1. Propriedade reflexiva

Propriedade reflexiva, no caso de igualdade, estabelece que cada número é igual a si mesmo e se expressa como b = b para qualquer número real B.

No caso particular de igualdade, essa propriedade parece ser óbvia, mas em outras relações entre números não é. Em outras palavras, nenhum relacionamento de números reais atende a esta propriedade. Por exemplo, esse caso de relacionamento "inferior ao" (<); ningún número es menor que sí mismo.

2. Propriedade simétrica

Propriedade simétrica da igualdade diz se A = B, então B = A. Não importa a ordem usada nas variáveis, isso será preservado pelo relacionamento igual.

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Uma certa analogia desta propriedade pode ser observada com a propriedade comutativa no caso da soma. Por exemplo, devido a esta propriedade, é equivalente escrever y = 4 ou 4 = y.

3. Propriedade transitiva

A propriedade transitiva em igualdade estabelece que se a = b e b = c, então a = c. Por exemplo, 2+7 = 9 e 9 = 6+3; Portanto, para propriedade transitiva, há 2+7 = 6+3.

Uma aplicação simples é a seguinte: Suponha que Julian tenha 14 anos e que Mario seja a mesma idade de Rose. Se Rosa tem a mesma idade de Julian, quantos anos tem Mario?

Por trás deste cenário, a propriedade transitiva é usada duas vezes. Matematicamente, é interpretado assim: deixe "a" a idade de Mario ", b" a idade de Rosa e "c" a idade de Julian. Sabe -se que b = c e o que c = 14.

Para propriedades transitivas, você precisa B = 14; isto é, Rosa tem 14 anos. Como a = b e b = 14, usando propriedade transitiva novamente, a = 14; Isto é, a idade de Mario também é de 14 anos.

4. Propriedade uniforme

A propriedade uniforme é que, se ambos os lados de uma igualdade forem adicionados ou multiplicados. Por exemplo, se 2 = 2, então 2+3 = 2+3, que é claro, bem 5 = 5. Esta propriedade é mais útil quando se trata de resolver uma equação.

As seguintes declarações podem ser estabelecidas:

- Sim a-b = c-b, então a = c.

- Se x-b = y, então x = y+b.

- Sim (1/a) z = b, então z = a ×

- Sim (1/c) a = (1/c) b, então a = b.

5. Cancelar a propriedade

A propriedade de cancelamento é um caso particular de propriedade uniforme, particularmente considerando o caso de subtração e divisão (que, em segundo plano, também corresponde a uma soma e uma multiplicação). Esta propriedade lida com separadamente.

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Por exemplo, se 7+2 = 9, então 7 = 9-2. Ou se 2y = 6, então y = 3 (dividindo por dois de ambos os lados).

Da mesma forma, no caso anterior, as seguintes declarações podem ser estabelecidas através da propriedade de cancelamento:

- Sim a+b = c+b, então a = c.

- Se x+b = y, então x = y-b.

- Se az = b, então z = b/a.

- Se Ca = CB, então a = b.

6. Propriedade de substituição

Se soubermos o valor de um objeto matemático, a propriedade de substituição estabelece que esse valor pode ser substituído em qualquer equação ou expressão. Por exemplo, se b = 5 e a = bx, substituindo o valor de "b" na segunda igualdade que você precisa = 5x.

Outro exemplo é o seguinte: se "m" divide "n" e também "n" divide "m", então você deve ter m = n.

7. Propriedade de energia em igualdade

Assim como foi visto que, se uma operação for feita como uma soma, multiplicação, subtração ou divisão em ambos os termos de igualdade, é preservada, da mesma maneira que outras operações que não alteram uma igualdade podem ser aplicadas.

A chave é sempre fazê -lo em ambos os lados da igualdade e garantir anteriormente que a operação pode ser realizada. É o caso da potenciação; isto é, se ambos os lados de uma equação para o mesmo poder forem aumentados, uma igualdade ainda é.

Por exemplo, como 3 = 3, então 3²= 3² (9 = 9). Em geral, dado um número "n" inteiro, se x = y, então xⁿ= yⁿ.

8. Propriedade raiz em igualdade

Este é um caso particular de potenciação e se aplica quando a energia é um número racional não inteiro, como ½, que representa a raiz quadrada. Esta propriedade estabelece que, se a mesma raiz for aplicada em ambos os lados de uma igualdade (sempre que possível), a igualdade é preservada.

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Ao contrário do caso anterior, o cuidado deve ser tomado aqui com a paridade da raiz a ser aplicada, pois é sabido que a raiz de um número negativo não está bem definida.

No caso de o radical ser par, não há problema. Por exemplo, se x³= -8, mesmo quando é uma igualdade, uma raiz quadrada não pode ser aplicada de ambos os lados, por exemplo. No entanto, se uma raiz cúbica puder ser aplicada (o que é ainda mais conveniente se você quiser saber explicitamente o valor de x), obtendo assim x = -2.