Permutações sem fórmulas de repetição, demonstração, exercícios, exemplos

A permutação sem repetição de n elementos são os diferentes grupos de diferentes elementos que podem ser obtidos de não repetir nenhum elemento, variando apenas a ordem de colocação dos elementos.

Para formar uma permutação sem repetição de n elementos, grupos de n elementos devem ser construídos sem serem repetidos. Por exemplo: Suponha que você queira saber o número de permutações ou números de quatro figuras diferentes que podem ser formadas com o número 2468 dígitos.

Para descobrir o número de permutações sem repetição, é usada a seguinte fórmula: 

Pn = n! 

Qual expandido seria pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Então, no exemplo prático anterior, ele se aplicaria da seguinte forma:

P4 = 4*3*2*1 = 24 números diferentes de 4 dígitos.

These being the 24 arrangements in total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426 8462, 8624, 8642.

Como pode ser visto, não há repetição em qualquer caso, sendo 24 números diferentes.

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Demonstração e fórmulas

24 arranjos de 4 números diferentes

Analisaremos mais especificamente o exemplo dos 24 arranjos diferentes de 4 figuras que podem ser formadas com o número 2468 dígitos. A quantidade de arranjos (24) pode ser conhecida da seguinte forma:

Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, que deixa 3 opções para selecionar o segundo. Dois dígitos já foram definidos e 2 opções são deixadas para selecionar o terceiro dígito. O último dígito tem apenas uma opção de seleção.

Portanto, o número de permutações, indicado por P4, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

P4 = 4*3*2*1 = 24 números diferentes de 4 dígitos

Em geral, o número de diferentes permutações ou arranjos que podem ser feitos com todos os n elementos de um determinado conjunto é:

Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

A expressão n!  É conhecido como fatorial e significa o produto de todos os números naturais entre o número n e o número um, incluindo os dois.

12 arranjos de 2 figuras diferentes

Agora, suponha que você queira saber o número de permutações ou números de duas figuras diferentes que podem ser formadas com o número 2468 dígitos.

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Estes seriam 12 arranjos no total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, que deixa 3 dígitos para selecionar o segundo. Portanto, o número de permutações dos 4 dígitos tirados de dois por dois, indicado por 4p2, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

4p2 = 4*3 = 12 números diferentes de 2 dígitos

Em geral, o número de diferentes permutações ou acordos que podem ser feitos com os elementos R do N no total em um determinado conjunto é:

Npr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]

A expressão anterior é truncada antes de reproduzir n!.  Para completar n!  A partir dele devemos escrever:

n!  = N (n -1) (n -2)… [n -(r -1) (n -r)… (2) (1)

Os fatores que adicionamos, por sua vez, representam uma fatorial:

(n -r)… (2) (1) = (n -r)!

Portanto,

n!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1) (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - ( R -1)] (n -r)!

Daqui

n!/(N -r)!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = npr

Exemplos

Exemplo 1

Quantas combinações de letras que não são 5 letras podem ser construídas com as letras da palavra -chave?

Você deseja encontrar o número de combinações de letras que não sejam 5 letras que podem ser construídas com as 5 letras da palavra -chave; isto é, o número de acordos de 5 letras que envolvem todas as letras disponíveis na palavra -chave.

N ° 5 palavras de carta = P5 = 5!  = 5*4*3*2*1 = 120 combinações de letras diferentes das 5 letras.

Seria: Chave, Velac, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... até 120 combinações de letras diferentes no total.

Exemplo 2

Você tem 15 bolas numeradas e deseja saber quantos outros grupos de 3 bolas podem ser construídos com as 15 bolas numeradas?

Você deseja encontrar o número de grupos de 3 bolas que podem ser feitas com as 15 bolas numeradas.

Número de grupos de 3 bolas = 15p3 = 15!/(15 - 3)!

N ° de grupos de 3 bolas = 15*14*13 = 2730 grupos de 3 bolas

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Uma loja de frutas tem um estande de exposição que consiste em uma fileira de compartimentos localizados no hall de entrada para as instalações. Em um dia, a loja de frutas adquire para venda: laranjas, bananas, abacaxis, peras e maçãs.

Pode atendê -lo: Fourier Transform: Propriedades, Aplicações, Exemplos

a) Quantas maneiras diferentes você tem para pedir o suporte de exposição?

b) Quantas formas diferentes ele tem que ordenar o estande se, além dos frutos mencionados (5), recebeu naquele dia: mangas, pêssegos, morangos e uvas (4)?

a) Você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de encomendar todas as frutas na linha da exposição; Ou seja, o número de arranjos de 5 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.

Número dos arranjos do suporte = P5 = 5!  = 5*4*3*2*1

Número dos arranjos do suporte = 120 maneiras de apresentar o estande

b) Você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de encomendar todas as frutas na linha da exposição se 4 itens adicionais fossem adicionados; Ou seja, o número de arranjos de 9 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.

Arranjo de suporte No! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Arranjos nº 362.880 maneiras de apresentar o estande

Exercício 2

Um pequeno local de vendas de alimentos tem muita terra com espaço suficiente para estacionar 6 veículos.

a) Quantas formas diferentes de veículos no lote terrestre podem ser selecionadas?

b) Suponha que um lote de terra adjacente seja adquirido cujas dimensões permitem que 10 veículos sejam estacionados, quantas formas diferentes de pedidos de veículos agora podem ser selecionadas?

a) Você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar na terra os 6 veículos que podem ser alojados.

N ° de arranjos dos 6 veículos = P6 = 6! = 6*5*4*3*2*1

N ° de arranjos dos 6 veículos = 720 maneiras diferentes de ordenar os 6 veículos no lote terrestre.

b) Você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar no lote da terra, os 10 veículos que podem ser alojados após a expansão do lote terrestre.

N ° de arranjos dos 10 veículos = p10 = 10!

Número do arranjo do veículo = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 1

N ° de arranjos dos 10 veículos = 3.628.800 maneiras diferentes de ordenar os 10 veículos no lote terrestre.

Pode atendê -lo: erro percentual

Exercício 3

Uma florista tem flores de 6 cores diferentes para fazer bandeiras florais de nações que têm apenas 3 cores. Se se sabe que a ordem das cores é importante em bandeiras,

a) Quantas bandeiras diferentes de 3 cores podem ser feitas com as 6 cores disponíveis?

b) O vendedor adquire flores de 2 cores adicionais para os 6 que já tinham, agora quantas bandeiras que não são 3 cores podem ser feitas?

c) Como possui 8 cores, decide expandir sua oferta de bandeiras, quantas bandeiras diferentes de 4 cores podem se preparar?

d) Quantas das 2 cores?

a) Você deseja encontrar a quantidade de bandeiras que não sejam três cores que podem ser feitas selecionando as 6 cores disponíveis.

N ° de 3 bandeiras coloridas = 6p3 = 6!/(6 - 3)!

N ° de 3 bandeiras coloridas = 6*5*4 = 120 sinalizadores

b) Você deseja encontrar a quantidade de bandeiras que não sejam três cores que podem ser feitas selecionando as 8 cores disponíveis.

N ° de 3 bandeiras coloridas = 8p3 = 8!/(8 - 3)!

N ° de 3 bandeiras coloridas = 8*7*6 = 336 sinalizadores

c) A quantidade de bandeiras que não é 4 cores que podem ser preparadas selecionando as 8 cores disponíveis deve ser calculada.

N ° de 4 bandeiras coloridas = 8p4 = 8!/(8 - 4)!

Número de bandeiras coloridas 4 = 8*7*6*5 = 1680 sinalizadores

d) É desejado determinar a quantidade de bandeiras que não sejam 2 cores que podem ser preparadas selecionando as 8 cores disponíveis.

2 sinalizadores coloridos número = 8p2 = 8!/(8 - 2)!

Número de sinalizadores coloridos 2 = 8*7 = 56 sinalizadores

Referências

1. Boada, a. (2017). Uso de permutação com repetição como experimentos de ensino. Revista da Vivat Academy. Recuperado do ResearchGate.líquido.
2. Canavos, g. (1988). Probabilidade e Estatística. Aplicações e métodos. McGraw-Hill/Interamerican do México S. PARA. claro. V.
3. Vidro, g.; Stanley, J. (mil novecentos e noventa e seis). Métodos estatísticos não aplicados às ciências sociais. Hall Hall Hall H Hispanoamerican. PARA.
4. Spiegel, m.; Stephens, l. (2008). Estatisticas. Quarto ed. McGraw-Hill/Interamerican do México S. PARA.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, Ka. (2007). Probabilidade e estatística para engenheiros e cientistas. Oitava ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, a. (2000). Estatísticas aplicadas aos negócios e economia. Terceira ed. McGraw-Hill/Interamerican S. PARA.
7. (2019). Permutação. Recuperado de.Wikipedia.org.