Explicação inversa multiplicativa, exemplos, exercícios resolvidos

É entendido por Multiplicativo inverso de um número, outro número que multiplicou os primeiros resultados no elemento neutro do produto, ou seja, a unidade. Se você tem um número real para então seu inverso multiplicativo é denotado por para^-1, E é cumprido que:

a^-1 = a^-1 A = 1

Geralmente o número para Pertence ao conjunto de números reais.

figura 1. E é multiplicativo inverso de x e x é um inverso multiplicativo de y.

Se, por exemplo, tomamos A = 2, Então seu inverso multiplicativo é 2^-1 = ½ Como o seguinte é verificado:

2 ⋅ 2^-1 = 2^-1⋅ 2 = 1

2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1

Para o Multiplicativo inverso de um número também é chamado de recíproca, Como o inverso multiplicativo é obtido pela troca de numerador e denominador, por exemplo, o inverso multiplicativo de 3/4 é 4/3.

Como regra geral, pode -se dizer que, para um número racional (P/q) Seu inverso inverso multiplicativo (p/q)^-1 É recíproco (Q/P) Como pode ser verificado abaixo:

(p/q) ⋅ (p/q)^-1 = (p/q) ⋅ (q/p) = (p⋅ q)/(q⋅ p) = (pulas

O inverso multiplicativo não existe no conjunto numérico dos números inteiros, Por exemplo, se o número 2 inteiro for tomado, seu inverso multiplicativo de acordo com o que foi visto acima seria ½, mas um ½ não é um número inteiro.

Há também o inverso multiplicativo do elemento nulo de multiplicação. Em outras palavras, o número zero (0), que é o elemento nulo da operação de multiplicação, não possui inverso multiplicativo, pois não há número que multiplicado por zero da unidade.

O inverso multiplicativo existe em números racionais, em números reais e números complexos.

Exemplos inversos multiplicativos

Exemplo 1

Encontre o inverso multiplicativo 3/2 e verifique se atende à propriedade de números inteiros multiplicativos.

Pode servir a você: coplanares pontos: equação, exemplo e exercícios resolvidos

De acordo com a regra dada acima, o inverso multiplicativo de (3/2) é (2/3) é trocado dessa maneira. Para verificar a multiplicação dos dois números, é executado:

(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2)/(2 ⋅ 3) ​​= 6/6 = 1.

Para multiplicar dois números fracionários, simplesmente multiplique o numerador do primeiro pelo segundo numerador para obter o numerador de resultado.

Para obter o denominador de um produto de números fracionários, prossiga de maneira semelhante, ou seja, os denominadores são multiplicados entre si e o resultado é o denominador do produto. Em nosso exemplo, é verificado que o numerador do produto do número e seu recíproco é 6 e o ​​denominador é 6, deixando a fração 6/6, que é 1.

Exemplo 2

O inverso multiplicativo de -5 não deve ser confundido com seu simétrico (+5) que às vezes é chamado de aritmético inverso. O inverso multiplicativo será obtido da seguinte forma:

(-5) ⋅ x = 1  

Onde x é o inverso multiplicativo a ser obtido. Um procedimento possível consiste em limpar o desconhecido x. AS (-5) multiplica o X desconhecido no membro esquerdo, então acontece dividir o membro certo:

X = 1 / (-5)

Como é conhecido por + entre - é - então finalmente é obtido:

X = - ⅕ .

Em conclusão - ⅕ é o inverso multiplicativo de -5.

Exemplo 3

Obtenha o inverso multiplicativo de -ul. Suponha que o inverso multiplicativo seja x, então -√2 multiplicado por x deve ser a unidade, uma condição que imporíamos abaixo:

-√2 ⋅ x = 1

Ambos os membros são divididos por -√2 para obter:

(-√2 ⋅ x) / (-√2) = 1 / (-√2) 

O primeiro membro é simplificado -"restante:

Pode servir a você: erro de estimativa padrão: como é calculado, exemplos, exercícios

X = 1 / (-√2)

Essa expressão pode ser racionalizada, ou seja, eliminando a raiz do denominador, multiplicando-se no numerador por (-√2) e no denominador pela mesma quantidade para que o resultado não seja alterado:

X = (-√2) / [(-√2) (-ul

Em conclusão - (√2/2) é o inverso multiplicativo (-√2).

Exemplo 4

Assuma qualquer número x, obtenha seu inverso multiplicativo e represente graficamente.

Nesse caso, é uma função f (x) = x, obtenção do inverso multiplicativo é encontrar a função g (x) de modo que multiplicada pela primeira da unidade da unidade. A função G é a função recíproca de f e não deve ser confundida de forma alguma com sua função inversa.

Em outras palavras, o inverso multiplicativo de x é a e tal que o seguinte é cumprido:

x ⋅ y = 1

Onde limpar e ter:

y = 1/x.

O acima é interpretado assim dado um valor de x, a fórmula anterior nos dá seu inverso multiplicativo.

É possível fazer sua representação gráfica, como mostrado na figura a seguir:

Figura 2. O inverso multiplicativo de x é y = 1/x.

Exercícios

Exercício 1

Dado x = 2 - √2, obtenha seu inverso multiplicativo e.

Solução:

Então isso e é um x X multiplicativo

x ⋅ y = 1

X é substituído por seu valor:

(2 - √2) ⋅ y = 1

Então limpa e:

y = 1 / (2 - √2)

Racionalizar o resultado multiplica o numerador e o denominador por seu binomial conjugado:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

No denominador, um produto notável é reconhecido chamado produto de uma soma para uma diferença, que é a diferença dos quadrados. Dessa maneira, a raiz desaparece no denominador.

y = (2 + √2) / (2^2 - (√2)^2)

Pode atendê -lo: proporção

Resolvendo os poderes:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Simplificando:

y = (2 + √2) / 2

Exercício 2

Obtenha o inverso multiplicativo (1/a + 1/b), onde A e B são números reais diferentes.

Solução:

Chamamos e o inverso multiplicativo de (1/a + 1/b), de modo que a seguinte equação deve ser cumprida:

E ⋅ (1/a + 1/b) = 1

A variável é limpa e:

Y = 1/(1/a + 1/b)

O denominador é resolvido:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Como se sabe sobre as regras da álgebra, o denominador do denominador passa para o numerador:

Y = (a b) / (b + a)

É ordenado para finalmente obter:

(a b)/(a + b), que é o inverso multiplicativo de (1/a + 1/b).

Exercício 3

Obter o inverso multiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2).

Solução:

Lembre -se de que o inverso multiplicativo também é chamado de recíproco porque é obtido apenas trocando numerador e denominador.

Então o inverso multiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2) será:

(A^2 - b^2) / (a ​​- b)

Mas essa expressão pode ser simplificada se reconhecermos, de acordo com as regras da álgebra, que o numerador é uma diferença de quadrados que pode estar considerando o produto de uma soma para uma diferença:

((A + b) (a - b)) (a - b)

Como existe um fator comum (a - b) no numerador e no denominador, passamos a simplificar, finalmente obtendo:

(a + b) que é o inverso multiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2).

Referências

1. Fontes, a. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Matemática: Equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
3. Haeussler, e. F., E Paul, r. S. (2003). Matemática para Administração e Economia. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, m., & Estrada, r. (2005). Matemática 1 de setembro. Limite.
5. Precioso, c. T. (2005). Curso de Matemática 3O. Editorial Progreso.
6. Rock, n. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.