Graus de liberdade como calculá -los, tipos, exemplos

O graus de liberdade Nas estatísticas estão o número de componentes independentes de um vetor aleatório. Se o vetor tiver n componentes e há p equações lineares que relacionam seus componentes, então o grau de liberdade É n-p.

O conceito de graus de liberdade Ele também aparece na mecânica teórica, onde em um modo bruto eles são equivalentes à dimensão do espaço onde a partícula se move, exceto o número de ligaduras.

figura 1. Um pêndulo se move em duas dimensões, mas só tem um grau de liberdade, porque é obrigado a se mover em um raio arco l. Fonte: f. Zapata.

Este artigo discutirá o conceito de graus de liberdade aplicado às estatísticas, mas um exemplo mecânico é mais fácil de visualizar de maneira geométrica.

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Tipos de graus de liberdade

De acordo com o contexto em que é aplicado, a maneira de calcular o número de graus de liberdade pode variar, mas a idéia subjacente é sempre a mesma: dimensões totais menos número de restrições.

Em um caso mecânico

Considere uma partícula que oscila amarrada a uma corda (um pêndulo) que se move no plano vertical x-y (2 dimensões). No entanto, a partícula é obrigada a se mover na circunferência do raio igual ao comprimento da corda.

Como a partícula só pode se mover nessa curva, o número de graus de liberdade É 1. Isso pode ser visualizado na Figura 1.

A maneira de calcular o número de graus de liberdade é fazer a diferença no número de dimensões, exceto o número de restrições:

Graus de liberdade: = 2 (dimensões) - 1 (ligação) = 1

Outra explicação que nos permite alcançar o resultado é a seguinte:

-Sabemos que a posição bilimensional é representada por um ponto de coordenada (x, y).

-Mas como o ponto deve cumprir a equação da circunferência (x² + e² = L²) Para um determinado valor de variável x, a variável e é determinada pela referida equação ou restrição.

Dessa forma, apenas uma das variáveis ​​é independente e o sistema tem Um (1) grau de liberdade.

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Em um conjunto de valores aleatórios

Para ilustrar o que o conceito significa supor o vetor

x = (x₁, x₂,…, X_n)

Representando a amostra de n Valores aleatórios normalmente distribuídos. Nesse caso, o vetor aleatório x tem n componentes independentes e, portanto, diz -se que x tem n graus de liberdade.

Vamos construir o vetor agora r do desperdício

r = (x₁ - , x₂ - ,.. ., x_n - )

Onde representa a média da amostra, que é calculada da seguinte forma:

= (x₁ + x₂ +.. .+ x_n) / n

Então a soma

(x₁ - )+(x₂ - )+.. .+(x_n - ) = (x₁ + x₂ +.. .+ x_n) - n = 0

É uma equação que representa uma restrição (ou ligação) nos elementos vetoriais r dos resíduos, pois se N-1 são conhecidos, componentes vetoriais r, A equação de restrição determina o componente desconhecido.

Portanto, o vetor r de dimensão n com a restrição:

∑ (x_Yo - ) = 0

Tem (N - 1) graus de liberdade.

Novamente, é aplicado que o cálculo do número de graus de liberdade seja:

graus de liberdade: = n (dimensões) - 1 (restrições) = n -1

Exemplos

Variação e graus de liberdade

A variação s² É definido como a média do quadrado dos desvios (ou desperdício) da amostra de dados:

s² = (r•r) / (N-1)

onde r é o vetor de resíduos r = (x1 -, x2 -, .. ., Xn -) e o ponto grosso (•) é o operador de produto escalar. Como alternativa, a fórmula de variação pode ser escrita da seguinte maneira:

s² = ∑ (x_Yo - )² / (N-1)

De qualquer forma, deve-se notar que, ao calcular a média do quadrado do lixo, é dividido por (n-1) e não entre n, pois, como discutido na seção anterior, o número de graus de liberdade de vetor r é (n-1).

Se para o cálculo da variação, foi dividido entre n Em vez de (n-1), o resultado teria um viés que é muito significativo para valores de n menos de 50.

Pode atendê -lo: geometria analítica

Na literatura também aparece a fórmula da variação com o divisor n em vez de (n-1), quando se trata da variação de uma população.

Mas o conjunto da variável aleatória dos resíduos, representada pelo vetor r, Embora tenha dimensão n, só tem (n-1) graus de liberdade. No entanto, se o número de dados for grande o suficiente (n> 500), ambas as fórmulas convergem para o mesmo resultado.

As calculadoras e planilhas oferecem as duas versões da variação e o desvio padrão (que é a raiz quadrada da variação).

Nossa recomendação, tendo em vista a análise apresentada aqui, é sempre escolher a versão com (n-1) toda vez que é necessário calcular a variação ou desvio padrão, para evitar resultados com viés.

Na distribuição quadrada do Chi

Algumas distribuições de probabilidade em variável aleatória contínua dependem de um parâmetro chamado grau de liberdade, Este é o caso da distribuição do quadrado Chi (χ²).

O nome do referido parâmetro vem apenas dos graus de liberdade do vetor aleatório subjacente ao qual essa distribuição é aplicada.

Suponha que haja populações G, das quais N Amostras de tamanho são coletadas:

X₁ = (x1₁, x1₂,... x1_n)

X2 = (x2₁, x2₂,... x2_n)

.. .

X_J = (XJ₁, xj₂,… XJ_n)

.. .

XG = (XG₁, XG₂,… XG_n)

Uma população J que tem desvio médio e padrão SJ, Siga a distribuição normal n (, SJ ).

A variável tipificada ou normalizada ZJ_Yo é definido como:

ZJ_Yo = (XJ_Yo - ) / SJ.

E o vetor ZJ É definido assim:

ZJ = (ZJ₁, ZJ₂,…, ZJ_Yo,…, ZJ_n) E siga a distribuição normal tipificada n (0,1).

Então a variável:

Q = ((Z1₁ ^2 + z2₁^2+… . + Zg₁^2),… ., (Z1_n^2 + z2_n^2+… . + Zg_n^2))

Siga a distribuição χ²(g) chamado de Distribuição quadrada do Chi com grau de liberdade g.

No contraste da hipótese (com um exemplo resolvido)

Quando você deseja fazer um contraste de hipótese com base em um certo conjunto de dados aleatórios, é necessário saber o Número de graus de liberdade g Para poder aplicar o teste quadrado do Chi.

Pode servir a você: distribuição uniforme contínua: características, exemplos, aplicações Figura 2. Existe um relacionamento entre o sabor do sorvete e o gênero do cliente? Fonte: f. Zapata.

Como exemplo, os dados coletados em preferências de sorvete de chocolate ou morango entre homens e mulheres em algumas sorveterias serão analisados. A frequência com que homens e mulheres escolhem morango ou chocolate, está resumido na Figura 2.

Primeiro, a tabela de frequência esperada é calculada, que é feita multiplicando o Linhas totais por ele Total de colunas, dividido por Dados totais. O resultado é mostrado na figura a seguir:

Figura 3. Cálculo das frequências esperadas com base nas frequências observadas (valores azuis na Figura 2). Fonte: f. Zapata.

Em seguida, continuamos a calcular o quadrado Chi (a partir dos dados) pela seguinte fórmula:

χ² = ∑ (f_qualquer - F_e)² / F_e

Onde f_qualquer são as frequências observadas (Figura 2) e F_e são as frequências esperadas (Figura 3). A soma está acima de todas as fileiras e colunas, que em nosso exemplo dão quatro termos.

Depois de fazer as operações que você recebe:

χ² = 0,2043.

Agora é necessário comparar com o quadrado teórico, que depende do Número de graus de liberdade g.

No nosso caso, esse número é determinado da seguinte maneira:

G = (#Filas - 1) (#Columnas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

Acontece que o número de graus de liberdade g deste exemplo é 1.

Se você deseja verificar ou rejeitar a hipótese nula (H0: não há correlação entre sabor e gênero) com um nível de significância de 1%, o quadrado teórico Chi é calculado com o grau de liberdade g = 1.

O valor que torna a frequência acumulada é buscada (1 - 0.01) = 0.99, isso é 99%. Este valor (que pode ser obtido das tabelas) é 6.636.

À medida que o chi teórico supera o calculado, a hipótese nula é verificada.

Isto é, com os dados coletados, não há relação entre o sabor das variáveis ​​e o gênero.

Referências

1. Minitab. Quais são os graus de liberdade? Recuperado de: suporte.Minitab.com.
2. Moore, David. (2009) Estatísticas aplicadas básicas. Editor de Antoni Bosch.
3. Leigh, Jennifer. Como calcular graus de liberdade em modelos estatísticos. Recuperado de: geniolândia.com
4. Wikipedia. Grau de liberdade (estatística). Recuperado de: é.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Grau de liberdade (físico). Recuperado de: é.Wikipedia.com