Fórmulas de energia gravitacional, características, aplicações, exercícios

O Energia gravitacional É o que tem um objeto enorme quando está imerso no campo gravitacional produzido por outro. Alguns exemplos de objetos com energia gravitacional são: a maçã na árvore, a maçã caindo, a lua orbitando a terra e a terra orbitando o sol.

Isaac Newton (1642-1727) foi o primeiro a perceber que a gravidade é um fenômeno universal e que todo objeto com massa produz em seu ambiente um campo capaz de produzir uma força em outro.

figura 1. A lua orbitando a terra tem energia gravitacional. Fonte: Pixabay

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Fórmulas e equações

A força referida em Newton é conhecida como força gravitacional e fornece energia ao objeto em que age. Newton formulou a lei de gravitação universal da seguinte maneira:

"Seja dois objetos de massa específicos M1 e M2, respectivamente, cada um exerce no outro uma força de atração proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa".

Na expressão anterior, F É a força da atração gravitacional que o objeto 1 exerce no objeto 2 (ou vice -versa), M1 e M2 As respectivas massas de objetos e r são a distância que separa objetos. G É uma constante de proporcionalidade conhecida como constante gravitacional.

Energia gravitacional OU associado à força gravitacional F é:

Observe a presença de um sinal negativo, o que significa que, se a separação entre objetos é finita, sua energia gravitacional é negativa. Mas se a separação tende ao infinito, a energia gravitacional é zero.

Um objeto que é imerso em um campo gravitacional tem energia potencial gravitacional OU e energia cinética K. Se não houver outras interações, ou elas são de intensidade insignificante, a energia total E deste objeto é a soma de sua energia gravitacional mais sua energia cinética:

E = k + u

Se um objeto estiver em um campo gravitacional e outras forças dissipativas não estão presentes, como atrito ou resistência ao ar, então a energia total E É uma quantidade que permanece constante durante o movimento.

Características da energia gravitacional

- Um objeto tem energia potencial gravitacional se estiver apenas na presença do campo gravitacional produzido por outro.

- A energia gravitacional entre dois objetos cresce à medida que a distância de separação entre eles é maior.

- O trabalho realizado pela força gravitacional é igual e contrário à variação da energia gravitacional da posição final em relação à de sua posição inicial.

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- Se um corpo é submetido apenas à ação da gravidade, a variação de sua energia gravitacional é igual e contrária à variação de sua energia cinética.

- A energia potencial de um objeto de massa m em uma altura h Em relação à superfície da Terra é MGH vezes maior que a energia potencial na superfície, sendo g A aceleração da gravidade, por alturas h Muito menor que o raio terrestre.

Potencial de campo e gravitacional

O campo gravitacional g É definido como força gravitacional F por unidade de massa. É determinado colocando uma partícula de teste em cada ponto do espaço e calculando o quociente entre a força que age na partícula de teste dividida pelo valor de sua massa:

g = F / m

O potencial gravitacional V de um objeto de massa m como a energia potencial gravitacional desse objeto dividido por sua própria massa é definida.

A vantagem dessa definição é que o potencial gravitacional depende apenas do campo gravitacional, de modo que, uma vez que o potencial seja conhecido V, Energia gravitacional OU de um objeto de massa m é:

U = m.V 

Figura 2. Campo gravitacional (linhas contínuas) e equi -potencial (linha segmentada) para o sistema Terra - Luna. Fonte: W T Scott, AM. J. Phys. 33, (1965).

Formulários

A energia potencial gravitacional é o que os corpos armazenam quando estão em um campo gravitacional.

Por exemplo, a água contida em um tanque tem mais energia na medida em que o tanque tem uma altura mais alta.

Em um tanque mais alto, quanto maior a velocidade da saída da água pela torneira. Isso ocorre porque a energia potencial da água na altura do tanque é transformada em energia da água cinética na saída da torneira.

Quando a água é danificada no topo de uma montanha, essa energia em potencial pode ser usada para girar as turbinas de geração de eletricidade.

A energia gravitacional também explica as marés. À medida que a energia e a força gravitacional dependem da distância, a atração gravitacional da lua é maior na face da terra mais próxima da lua do que a face mais distante e oposta.

Isso produz uma diferença nas forças que deformam a superfície do mar. O efeito é maior em uma lua nova, quando o sol e a lua estão alinhados.

A possibilidade de construir estações espaciais e satélites que permanecem relativamente próximas do nosso planeta, é devido à energia gravitacional produzida pela Terra. Se não estas espaciais e satélites artificiais estariam vagando pelo espaço.

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Potencial gravitacional da terra

Suponha que a terra tenha massa M e um objeto que está acima da superfície da Terra à distância r Sobre o centro do mesmo tem uma massa m. 

Nesse caso, o potencial gravitacional é determinado a partir da energia gravitacional, simplesmente dividindo -se entre a massa do objeto que resulta:

O potencial gravitacional na superfície da Terra é obtido substituindo r Pelo raio terrestre r_T. 

Energia potencial perto da superfície da Terra

Suponha que a terra tenha rádio R_T  e massa M.

Mesmo que a Terra não seja um objeto oportuno, o campo em sua superfície é equivalente ao que seria obtido se toda a sua massa M Estava concentrado no centro, de modo que a energia gravitacional de um objeto na altura h na superfície da Terra é 

U (r_T + h) = -G.M m (r_T + h)^-1

Mas porque H é muito menor que R_T, A expressão anterior pode se aproximar de 

U = uo + mgh

Onde g é a aceleração da gravidade, cujo valor médio para a Terra é 9.81 m/s^2.

Então o EP de energia potencial de uma massa m na altura h na superfície da Terra é:

Ep (h) = u +uo = mgh

Na superfície da Terra H = 0, então um objeto na superfície tem EP = 0. Cálculos detalhados podem ser vistos na Figura 3.

Figura 3. Energia potencial gravitacional em uma altura h na superfície. Fonte: preparado por f. Zapata.

Exercícios 

Exercício 1: colapso da terra gravitacional

Suponha que nosso planeta sofra um colapso gravitacional por perda de energia térmica dentro e seu raio decai até metade do valor atual, mas a massa do planeta é constante.

Determine qual seria a aceleração da gravidade perto da superfície da nova terra e quanto um sobrevivente pesando 50 kg-f antes do colapso. Aumenta ou diminui a energia gravitacional da pessoa e em que fator.

Solução

A aceleração da gravidade na superfície de um planeta depende de sua massa e seu raio. A constante de gravitação é universal e serve igualmente para planetas e exoplanetas.

No caso de ser criado, se o raio da terra for reduzido pela metade, a aceleração da gravidade da nova terra seria 4 vezes maior. Os detalhes podem ser vistos na próxima placa.

Isso significa que um super-homem e sobrevivente que no antigo planeta pesava 50 kg-f pesar 200 kg-f no novo planeta.

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Por outro lado, a energia gravitacional será reduzida pela metade na superfície do novo planeta.

Exercício 2: colapso gravitacional e velocidade de fuga

Em referência à situação levantada no Exercício 1, o que aconteceria com a velocidade de escape: aumenta, diminui, em que fator?

Solução 2

A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para escapar da atração gravitacional de um planeta.

Para calculá -lo, supõe -se que um projétil que dispara com essa velocidade atinge o infinito com velocidade zero. Além disso, no infinito, a energia gravitacional é zero. Portanto, um projétil que dispara com a velocidade de escape terá zero energia total.

Ou seja, na superfície do planeta no momento do tiro, a soma da energia cinética do projétil + energia gravitacional deve ser anulada:

½ m ve^2 - (g m.senhor_T = 0

Observe que a velocidade de escape não depende da massa do projétil e seu valor quadrado é

Ve^2 = (2g m) / r_T

Se o planeta entrar em colapso até um raio metade do original, o quadrado da nova velocidade de escape se tornará o dobro.

Portanto, a nova velocidade de escape cresce e se torna 1.41 vezes a velha velocidade de fuga:

Ve '= 1.41 Ver

Exercício 3: Energia gravitacional da Apple

Um garoto na varanda de um prédio a 30 metros do solo libera uma maçã de 250 g, que após alguns segundos atinge o solo.

Figura 4. Enquanto cai, a energia potencial da maçã é transformada em energia cinética. Fonte: Pixabay.

a) Qual é a diferença de energia gravitacional da maçã no topo da maçã no nível do solo?

b) quão rápido a maçã foi antes de se espalhar no chão?

c) E a energia quando a maçã se esmagou contra o solo? 

Solução

a) A diferença de energia gravitacional é 

m.g.H = 0.250 kg * 9.81 m/s^2 * 30 m = 73.6 j

b) A energia potencial que a maçã tinha quando tinha 30 m de altura é transformada em energia cinética para quando a maçã atingir o solo.

½ m v^2 = m.g.h

V^2 = 2.g.h

Ao substituir valores e limpeza, segue -se que a maçã atinge o solo com uma velocidade de 24.3 m/s = 87.3 km/h.

c) Obviamente, a maçã está espalhada e toda a energia gravitacional acumulada no início é perdida na forma de calor, uma vez que as peças da maçã e a zona de impacto são aquecidas, além disso, parte da energia também é dissipada na forma de ondas sonoras ”Splash".

Referências

1. Alonso, m. (1970). Vol Physics. 1, Fundo Educacional Inter -Americano. 
2. Hewitt, Paul. 2012. Ciência física conceitual. 5 ª. Ed. Pearson.
3. Cavaleiro, r. 2017. Física para cientistas e engenharia: uma abordagem de estratégia. Pearson.
4. Sears, f. (2009).University Physics Vol. 1 
5. Wikipedia. Energia gravitacional. Recuperado de: é.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Energia gravitacional. Recuperado de: em.Wikipedia.com