Distribuições discretas

Tabela de uma distribuição de probabilidade discreta. Fonte: f. Zapata

O que é uma distribuição discreta?

A distribuição discreta de probabilidades é uma função f (x_Yo) que atribui a cada valor de uma variável discreta: x₁, x₂, x₃,... x_Yo, uma certa ocorrência de ocorrência p (x = x_Yo). Esta função também é conhecida como "função de massa de probabilidade".

A distribuição de probabilidade discreta pode ser dada na forma de uma tabela ou gráficos. Uma tabela tem essa forma geral, na qual a variável aparece em uma coluna e sua respectiva probabilidade no outro:

As funções de massa de probabilidade compartilham as seguintes características gerais:

• A probabilidade p_Yo de qualquer evento X_Yo É entre 0 e 1, sendo até alguns desses valores limitados: 0 ≤ x ≤ 1.
• P (x = x_Yo) = p_Yo Basta tomar valores positivos, portanto: p (x = x_Yo) ≥ 0.
• É verdade que ∑ p (x_Yo) = 1 para todos os valores possíveis de x.

Uma distribuição de probabilidades descreve o comportamento de uma população, descrita por seus parâmetros: a média μ, a variação σ² e o desvio padrão s = σ σ².

Em seguida, as distribuições discretas mais notáveis ​​são descritas brevemente:

Distribuição uniforme

É a distribuição mais simples discreta de todos. Nele, a variável pode levar valores discretos "n": x₁, x₂, x₃,... x_Yo, Tudo com a mesma probabilidade. Nesse caso, a distribuição é dada por:

Distribuição binomial

Aplica -se a experiências com apenas dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos, que geralmente são chamados de "sucesso" e "fracasso", indicado como E e F, respectivamente,. O fato de um evento ser chamado de "sucesso", não significa necessariamente que é uma coisa boa, é uma designação arbitrária.

A probabilidade de sucesso p (e) nos ensaios de "n" é indicada como p e a de falha p (f) como q = 1 - p.

Se "X" representa um certo número de sucessos nos ensaios independentes "n", é verdade que: 0 ≤ x ≤ n. E a probabilidade de ocorrência p (x) do evento é calculada através da seguinte fórmula:

Pode atendê -lo: centímetros quadrados a metros quadrados (cm² a m²)

Onde x = 0, 1, 2, 3 ..., n e o símbolo (!) significa "fatorial":

x! = x ∙ (x - 1) ∙ (x - 2) ∙ (x - 3)… 1

0! = 1

Distribuição de veneno

Nesta distribuição, a variável aleatória x indica quantas vezes um evento ocorre em algum intervalo, o que pode ser de tempo, distância ou outro. As ocorrências do evento são aleatórias, independentes e são distribuídas uniformemente ao longo do intervalo em questão.

Uma vez essas condições, a probabilidade, que depende da média de μ ocorrências e do número de Euler ou número "e", são calculadas por:

As chances de eventos com esta distribuição são pequenas, por isso é chamado de "lei de casos raros".

Abordagem de distribuição binomial

A distribuição de Poisson serve como uma abordagem da distribuição binomial quando N é grande (n≥ 100) e P é pequeno (np ≤ 10). Nesse caso, a média μ é calculada como:

μ = n ∙ p

Distribuição hipergeométrica

É usado quando as probabilidades não são independentes, ou seja, depois de realizar o experimento, as condições não são as mesmas novamente. É o que acontece ao extrair amostras sem substituição de uma população, então a distribuição binomial não pode mais ser usada.

Se a população consistir em dois tipos de objetos diferentes de e B, e em objetos aleatórios e sem substituição, a probabilidade de obter x objetos do tipo A são:

Onde A e B são as respectivas quantidades de objetos de cada tipo, presentes na população.

No entanto, se a população for muito grande, mesmo que não haja substituição, é difícil para o mesmo elemento ser selecionado mais de uma.

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Exemplos

Lançamentos de moedas

Co -launches são exemplos muito ilustrativos:

-O lançamento de uma moeda honesta e obtenha um rosto. Sabe -se que 1 face tem uma probabilidade de sair e a cruz (0 face), a mesma. A distribuição é mostrada nesta tabela:

Tabela de distribuição de probabilidade discreta que segue o lançamento de 1 moeda honesta. Fonte: f. Zapata

-A foto simultânea de dois moedas honestas e possíveis faces números que podem ser obtidos.

Tabela de distribuição de probabilidade discreta que segue o lançamento de duas moedas honestas, com o objetivo de obter qualquer face ou não. Fonte: f. Zapata

Variáveis ​​com distribuição uniforme

-A seleção de um número inteiro que é par ou ímpar: cada um é probabilidade igual a ½ de ser escolhido dentro do conjunto de números inteiros.

-O lançamento de um dado honesto. Nesse caso, existem 6 rostos numerados e cada um tem a mesma probabilidade de sair: 1/6.

-A seleção de um tópico para fazer um exame, escolhido entre n questões, se todos eles forem igualmente prováveis.

Variáveis ​​com distribuição binomial

-Número de rostos que saem lançando uma moeda honesta.

-De uma população de 250 famílias, o número dessas que têm 2 filhos.

-A quantidade de pau -madeiras que sobrevivem, depois de um jardineiro 20 rosales em um jardim.

-De um estudo com 50 pacientes, o número deles que apresentou uma reação negativa a um medicamento.

-O número de alunos aprovados em um exame de probabilidades, de um grupo composto por 100 alunos.

Variáveis ​​com distribuição de Poisson

-Número de chamadas por minuto para Central de Atendimento De uma empresa.

-Número de grandes terremotos por ano para uma área geográfica específica.

-O número de tornados que afetaram uma determinada região durante o último ano.

-Número de árvores infectadas com um fungo, por hectare quadrado da floresta.

Variáveis ​​com distribuição hipergeométrica

-Sucessos de números ou combinações vencedoras no jogo.

Pode atendê -lo: vetores simultâneos: características, exemplos e exercícios

-Seleção de um certo número de mulheres ou machos em uma amostra de n peixe de um aquário.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um estudo determinou que, por adultos selecionados aleatoriamente que têm smartphones, 54% deles os usam em sala de aula ou reuniões. Você deseja encontrar a probabilidade de que, selecionando aleatoriamente 8 pessoas com smartphone, exatamente 6 delas as usem em sala de aula ou reuniões.

Solução

Este experimento concorda com um experimento binomial, pois o resultado é binário: uma pessoa leva o telefone em sala de aula ou não o retira. O fato de a pessoa usar o telefone em sala de aula pode ser chamada de sucesso e uma falha se não o fizer (antes de ser explicado que essa escolha é completamente arbitrária).

Nesse caso: p = 0.54 e Q = 1- 0.54 = 0.46.

Como 8 pessoas são selecionadas aleatoriamente, então n = 8 e o valor de x é 6, portanto, os valores necessários estão disponíveis para substituí -los na fórmula de distribuição binomial:

Exercício 2

Por um ano recente, uma clínica registrou 4221 nascimentos. Com esses dados exclusivos, determine a probabilidade de que haja 15 nascimentos em 1 dia. Este evento é raro?

Solução

A distribuição de Poisson é usada, pois é solicitada para determinar a probabilidade de ocorrência de um evento que ocorre em um intervalo de tempo. Nesse caso, a variável é a quantidade de nascimentos e o intervalo é de 1 dia.

A fórmula de distribuição de Poisson precisa do nascimento médio por dia, que é facilmente calculado:

Portanto, a probabilidade de x = 15 nascimentos/dia é:

O resultado pode ser expresso em termos de porcentagem para clareza: 6.42% provavelmente que, a qualquer dia, exatamente 15 nascimentos ocorrem. O evento é improvável, embora em nenhum caso seja impossível.