Choques elásticos em uma dimensão, casos especiais, exercícios

O choques elásticos o colisões elásticas consistem em interações breves, mas intensas, entre objetos, nos quais tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são preservados. Choques são eventos muito frequentes na natureza: de partículas subatômicas a galáxias, passando por bolas de bilhar e carros de choque em parques de atração, todos são objetos capazes de colidir.

Durante uma colisão ou choque, as forças de interação entre objetos são muito intensas, muito mais do que aquelas que podem agir externamente. Dessa maneira, pode -se afirmar que, durante a colisão, as partículas formam um sistema isolado.

Colisões entre bolas de bilhar podem ser consideradas elásticas. Fonte: Pixabay.

Nesse caso, é cumprido que:

Onde P É a quantidade de movimento vetorial, cuja magnitude é MV (Massa de velocidade). Se o derivado de P é nulo, significa que P é constante. E isso significa que não varia, que é preservado. Portanto, podemos afirmar que:

P_qualquer = P_F

A quantidade de movimento P_qualquer Antes da colisão, é o mesmo que após a colisão. Isso é atendido para qualquer tipo de colisão, elástica e inelástica.

Agora você deve considerar o seguinte: Durante uma colisão, os objetos experimentam uma certa deformação. Quando o confronto é elástico, os objetos recuperam rapidamente sua forma original.

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Conservação de Energia Cinética

Normalmente, durante um choque, parte da energia dos objetos é gasta no calor, deformação, som e às vezes até mesmo na produção de luz. Portanto, a energia cinética do sistema após a colisão é menor que a energia cinética original.

Quando a energia cinética K, é preservada então:

K_qualquer = K_F

O que significa que as forças que atuam durante a colisão são conservadoras. Enquanto a colisão dura a energia cinética é brevemente transformada em energia potencial e depois é uma energia cinética novamente. As respectivas energias cinéticas variam, mas a soma permanece constante.

Colisões perfeitamente elásticas não são frequentes, embora as bolas de bilhar sejam uma abordagem bastante boa, bem como colisões que ocorrem entre moléculas de gase ideal.

Choques elásticos em uma dimensão

Vamos examinar uma colisão de duas partículas disso em uma única dimensão; Isto é, as partículas que interagem se movem, digamos, ao longo do eixo x. Suponha que eles tenham massas m₁ e m₂. As velocidades iniciais de cada um são ou₁ e ou₂ respectivamente. As velocidades finais são v₁ e v₂.

Podemos ficar sem a notação vetorial, uma vez que o movimento é realizado ao longo do eixo x, no entanto, os sinais (-) e (+) indicam o significado do movimento. À esquerda é negativa e para o direito positivo, por convenção.

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-Fórmulas para colisões elásticas

Para a quantidade de movimento

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

Para energia cinética

½ m₁ou²₁ + ½ m₂ou²₂ = ½ m₁v²₁ +  ½ m₂v²₂

Sempre que as massas e velocidades iniciais são conhecidas, é possível reagrupar as equações para encontrar as velocidades finais.

O problema é que, em princípio, é necessário. O ideal seria encontrar expressões que não as contêm.

O primeiro é ficar sem o fator ½ e reorganizar ambas as equações de tal maneira que um sinal negativo aparece e as massas podem ser fatoros:

m₁ou₁ - m₁v₁ = M₂v₂ - m₂ou₂

m₁ou²₁ - m₁v²₁  = +M₂v²₂ - m₂ou²₂

Sendo expresso desta maneira:

m₁(ou₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - ou₂)

m₁(ou²₁ - v²₁ ) = m₂ (v²₂ - ou²₂)

Simplificação para eliminar quadrados de velocidades

Agora você precisa usar o produto notável, ele aumenta sua diferença na segunda equação, que obtém uma expressão que não contém os quadrados, como originalmente desejado:

m₁(ou₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - ou₂)

m₁(ou₁ - v₁ ) (ou₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - ou₂) (v₂ + ou₂)

O próximo passo é substituir a primeira equação no segundo:

m₂(v₂ - ou₂) (ou₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - ou₂) (v₂ + ou₂)

E quando o termo é repetido m₂(v₂ - ou₂) Em ambos os lados da igualdade, esse termo é cancelado e é assim:

(ou₁ + v₁) = (V₂ + ou₂)

Ou melhor ainda:

ou₁ - ou₂= v₂ -  v₁

Velocidades finais v₁ e V₂ das partículas

Agora existem duas equações lineares com as quais é mais fácil trabalhar. Vamos colocá -los novamente abaixo do outro:

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

ou₁ - ou₂= v₂ -  v₁

Multiplicando a segunda equação por m₁ E adicionando termo ao termo restos:

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

m₁ou₁ - m₁ou₂= m₁v₂ - m₁ v₁

-

2 m₁ou₁ + (m₂ - m₁) ou₂ = (m₂ + m₁) v₂

E já é possível limpar v₂. Por exemplo:

Um tratamento semelhante pode ser feito para encontrar uma equação para v₁. O leitor é deixado como um exercício para demonstrar que:

Casos especiais em colisões elásticas

Agora que as equações estão disponíveis para as velocidades finais de ambas as partículas, é hora de analisar algumas situações especiais.

Duas massas idênticas

Nesse caso m₁ = m₂ = m e:

v₁ = u₂

v₂ = u₁

Partículas simplesmente trocam suas velocidades após a colisão.

Duas massas idênticas, uma das quais inicialmente estava em repouso

De novo  m₁ = m₂ = m e assumindo isso ou₁ = 0:

v₁ = u₂

v₂ = 0

Após o acidente, a partícula que estava em repouso adquire a mesma velocidade da partícula que estava se movendo, e por sua vez para.

Pode atendê -lo: pressão hidráulica

Duas massas diferentes, uma delas inicialmente em repouso

Nesse caso, suponha ou₁ = 0, Mas as massas são diferentes:

Que passa sim m₁ é muito maior que m₂?

Acontece que m₁ Mantenha em repouso e m₂ É devolvido com a mesma velocidade com que impactou.

Coeficiente de restituição ou regra de Huygens-Newton

Anteriormente, a seguinte relação entre as velocidades de dois objetos em colisão elástica foi deduzida: ou₁ - ou₂ = v₂ -  v₁. Essas diferenças são as velocidades relativas antes e depois da colisão. Em geral, para uma colisão, é cumprido que:

ou₁ - ou₂ = -(v₁ -  v₂)

O conceito de velocidade relativo é melhor apreciado se o leitor imaginar que está em uma das partículas e a partir desta posição observa a velocidade com que a outra partícula se move. A equação anterior é reescrita assim:

Se a energia cinética não for preservada, o quociente indicado será menor que 1. Vamos ligar e Para o valor do referido quociente sem dimensão:

O bem:

O valor de e está entre 0 e 1 e é chamado Coeficiente de restituição. Quando o confronto é elástico, e = 1. Quando é totalmente inelástico, e = 0, enquanto se tiver algum outro valor intermediário, alguma energia cinética se dispersou em outros tipos de energia.

Exercícios resolvidos

-Exercício resolvido 1

Uma bola de bilhar se move para a esquerda a 30 cm/s, colidindo de frente com outra bola idêntica que se move para a direita para 20 cm/s. As duas bolas têm a mesma massa e o acidente é perfeitamente elástico. Encontre a velocidade de cada bola após o impacto.

Solução

ou₁ = -30 cm/s

ou₂ = +20 cm/s

Este é o caso especial que duas massas idênticas colidem em uma dimensão elasticamente, portanto as velocidades são trocadas.

v₁ = +20 cm/s

v₂ = -30 cm/s

-Exercício resolvido 2

O coeficiente de restituição de uma bola que salta no chão é igual a 0,82. Se você cair do repouso, que fração da sua altura original chegará à bola depois de saltar uma vez? E depois de 3 rebotes?

Uma bola salta contra uma superfície firme e perde a altura a cada recuperação. Fonte: Self feito.

Solução

O solo pode ser o objeto 1 na equação do coeficiente de restituição. E está sempre em repouso, para que:

A direção negativa é escolhida para baixo e o positivo. A velocidade de um objeto que é liberado livremente de uma certa altura h_qualquer é:

O sinal (-) indica que a bola desce:

Pode servir a você: Torricelli Experimento: medidas de pressão atmosférica, importância

 

Com esta velocidade saltando:

 

O sinal + indica que é uma velocidade ascendente. E de acordo com ele, a bola atinge uma altura máxima de:

 

Agora ele volta ao chão novamente com velocidade da mesma magnitude, mas o sinal oposto:

E salta com:

Isso atinge uma altura máxima de:

Chegue ao solo novamente com:

Rebotes sucessivos

Toda vez que a bola salta e ascende, você precisa multiplicar a velocidade novamente por 0.82:

E atinge uma altura máxima determinada pelo quadrado da referida velocidade:

Neste ponto H₃ é aproximadamente 30% de h_qualquer. Qual seria a altura na 6ª rebotes sem ter que fazer cálculos tão detalhados quanto os anteriores?

Eu gostaria h₆ = 0.82¹² h_qualquer = 0.092h_qualquer ou apenas 9% de h_qualquer.

-Exercício resolvido 3

Um bloco de 300 g se move para o norte para 50 cm/s e coloca contra um bloco de 200 g que é direcionado para o sul de 100 cm/s. Suponha que o confronto seja perfeitamente elástico. Encontre as velocidades após o impacto.

Dados

m₁ = 300 g; ou₁ = + 50 cm/s

m₂ = 200 g; ou₂ = -100 cm/s

-Exercício resolvido 4

Uma massa de m é liberada₁ = 4 kg do ponto indicado na pista sem atrito, até que colide com M₂ = 10 kg em repouso. Para que altura é M₁ Após a colisão?

Solução

Como não há atrito, a energia mecânica é preservada para encontrar a velocidade ou₁ com que m₁ impactos  m_2. Inicialmente a energia cinética é 0, pois m₁ parte do resto. Ao se mover na superfície horizontal, não tem altura, então a energia potencial é 0.

Mgh = ½ mu₁ ²

 

ou₂ = 0

Agora a velocidade de m₁ Após a colisão:

O sinal negativo significa que foi devolvido. Com essa velocidade ascensão e energia mecânica é preservada novamente para encontrar H ', A altura em que consegue subir após o acidente:

½ mv₁² = mgh '

Observe que você não retorna ao ponto de partida a 8 m de altura. Não tem energia suficiente porque deu parte de sua energia cinética a massa m_1.

Referências

1. Giancoli, d.  2006. Física: Princípios com aplicações. 6^º. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, a. 2011. Fundamentos da Física. Pearson. 135-155.
3. Serway, r., Vulle, c. 2011. Fundamentos da Física. 9^{n / D} Cengage Learning. 172 -182
4. Tipler, p. (2006) Física para ciência e tecnologia. 5ª ed. Volume 1. Editorial revertido. 217-238
5. Tiptens, p. 2011. Física: conceitos e aplicações. 7ª edição. MacGraw Hill. 185 -195