Tipos de axiomas de probabilidade, explicação, exemplos, exercícios

O axiomas de probabilidade São proposições matemáticas sobre a teoria da probabilidade, que não merece demonstração. Os axiomas foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) em seu trabalho Fundamentos da teoria da probabilidade e estabeleceu a base do estudo matemático da probabilidade.

Ao realizar um certo experimento aleatório ξ, o espaço da amostra é o com todos os resultados possíveis do experimento, também chamado eventos. Qualquer evento é denotado como A e P (a) é a probabilidade de acontecer. Então Kolmogorov estabeleceu que:

figura 1. Os axiomas de probabilidade permitem calcular a probabilidade de atingir o jogo como a roleta. Fonte: Pixabay.

-Axioma 1 (sem negatividade): A probabilidade de ocorrer qualquer evento é sempre positivo ou zero, P (a) ≥0. Quando a probabilidade de um evento é 0, é chamado Evento impossível.

-Axioma 2 (certeza): desde que algum evento que pertence a E, sua probabilidade de ocorrência seja 1, que podemos expressar como P (e) = 1. É o que é conhecido como um Evento seguro, Desde que, ao realizar um experimento, há um resultado com toda a certeza.

-Axioma 3 (adição): No caso de dois ou mais eventos incompatíveis dois a dois, chamados para₁, PARA₂, PARA₃..., a probabilidade do evento para₁ mais o a₂ mais o a₃ E assim por diante, é a soma das probabilidades que cada um acontece separadamente.

Isso é expresso como: P (a₁ U a₂ U a₃ U ...) = P (A₁) + P (A₂) + P (A₃) +..

Figura 2. O notável matemático russo Andrei Kolmogorov (1903-1987), que lançou os fundamentos para a probabilidade axiomática. Fonte: Wikimedia Commons.

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Exemplo

Os axiomas de probabilidade são amplamente utilizados em muitas aplicações. Por exemplo:

Uma garra ou taquuela é jogada no ar e, quando o chão está caindo, há a opção de cair com a gorjeta (U) ou com a ponta para baixo (D) (não consideraremos outras possibilidades). O espaço de amostra deste experimento consiste nesses eventos, então e = u, d.

Pode servir a você: Sólidos da Revolução: volume, tipos, exercícios resolvidosFigura 3. No experimento de lançamento da Tacelá, existem dois eventos de diferentes probabilidades: cair com a dica ou no chão. Fonte: Pixabay.

Aplicando os axiomas que temos:

P (e) = 1 (Axioma 2)

Mas P (e) = p (u) + p (d) (Axioma 3), porque esses eventos são mutuamente incompatíveis ou desarticulados. O bug não cai com a gorjeta para cima ou para baixo ao mesmo tempo, é um ou outro, mas não ambos, já que outras possibilidades estão sendo consideradas. Então:

P (u) + p (d) = 1

P (u) = 1 - p (d)

Se é igualmente provável que caia com a gorjeta para cima ou para baixo, P (u) = p (d) = ½ (Axioma 1). No entanto, pode ser que, devido à construção e design do bug. Por exemplo, pode ser isso P (u) = ¾ enquanto que P (d) = ¼ (Axioma 1).

Observe que em ambos os casos, a soma das probabilidades dá 1. No entanto, os axiomas não indicam como alocar probabilidades, pelo menos não completamente. Mas eles afirmam que são números entre 0 e 1 e isso, como ocorre neste caso, a soma de todos é 1.

Maneiras de atribuir probabilidade

Os axiomas de probabilidade não constituem um método de atribuir o valor da probabilidade. Para isso, existem três opções compatíveis com axiomas:

Regra de Laplace

Cada evento é atribuído a mesma probabilidade de acontecer, então a probabilidade de ocorrência é definida como:

P (a) = número de casos favoráveis ​​ao evento A/ número de casos possíveis

Por exemplo, qual é a probabilidade de extrair um ás de um baralho de cartas francesas? O baralho tem 52 cartas, 13 de cada pau e há 4 paus. Cada bastão tem 1 como, portanto, no total, existem 4 ases:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

A regra de Laplace é limitada a espaços de amostra finitos, onde cada evento é igualmente provável.

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Frequência relativa

Aqui o experimento deve ser repetível, pois o método é baseado na realização de um grande número de repetições.

Vamos fazer repetições do experimento ξ, das quais descobrimos que n é o número de vezes que ocorre um determinado evento A, então a probabilidade de que este evento acontecerá é:

P (a) = lim_{I → ∞} (nenhum)

Onde n/i é a frequência relativa de um evento.

Definir P (a) Dessa maneira, satisfaz os axiomas de Kolmogorov, mas tem o inconveniente de que muitos testes devem ser realizados para que a probabilidade seja apropriada.

Método subjetivo

Uma pessoa ou um grupo de pessoas pode concordar em atribuir a probabilidade a um evento, através de seus próprios julgamentos. Este método tem a desvantagem de que pessoas diferentes possam atribuir diferentes probabilidades ao mesmo evento.

Exercício resolvido

No experimento de lançar simultaneamente três moedas honestas, obtendo as chances dos eventos descritos:

a) 2 rostos e uma cruz.

b) 1 rosto e duas cruzes

c) 3 cruzes.

d) pelo menos 1 rosto.

Solução para

Os rostos são indicados com C e as cruzes com x. Mas existem várias maneiras de obter dois rostos e uma cruz. Por exemplo, as duas primeiras moedas podem cair com o rosto e o terceiro com Cruz. Ou o primeiro pode cair na face, a segunda cruz e a terceira face. E finalmente o primeiro pode ser uma cruz e os rostos restantes.

Para responder às perguntas, é necessário conhecer todas as possibilidades, que são descritas em uma ferramenta chamada diagrama de árvore qualquer Árvore de probabilidades:

Figura 4. Diagrama de árvores para lançamento simultâneo de três moedas honestas. Fonte: f. Zapata.

A probabilidade de que em qualquer moeda seja cara é ½, o mesmo acontece para as cruzes, pois a moeda é honesta. Na coluna certa, todas as possibilidades de lançamento estão listadas, ou seja, o espaço de amostra.

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As combinações que respondem ao evento solicitado são escolhidas no espaço da amostra, uma vez que a ordem em que as faces aparecem não é importante. Existem três eventos favoráveis: CCX, CXC e XCC. A probabilidade de cada evento é:

P (CCX) = ½. ½ . ½ = 1/8

O mesmo acontece para os eventos CXC e XCC, cada um tem 1/8 de probabilidade de acontecer. Portanto, a probabilidade de obter exatamente 2 faces é a soma das probabilidades de todos os eventos favoráveis:

P (2 faces) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

Solução b

Encontrar a probabilidade de existir exatamente dois cruzamentos é um problema análogo para o anterior, também há três eventos favoráveis ​​retirados do espaço da amostra: CXX, XCX e XXC. Portanto:

P (2 cruzes) = 3/8 = 0.375

Solução c

Sabe intuitivamente que a probabilidade de obter 3 cruzamentos (ou 3 faces) é menor. Nesse caso, o evento solicitado é xxx, no final da coluna direita, cuja probabilidade é:

P (xxx) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

Solução d

É solicitado a obter pelo menos uma face, isso significa que 3 faces, 2 faces ou 1 face podem sair. O único evento incompatível com este é aquele em que 3 cruzes saem, cuja probabilidade é 0.125. Portanto, a probabilidade procurada é:

P (pelo menos 1 face) = 1 - 0.125 = 0.875.

Referências

1. Canavos, g. 1988. Probabilidade e estatística: aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. DeVore, j. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8º. Edição. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Série Schaum: Probabilidade. McGraw Hill.
4. Obregón, i. 1989.Teoria da probabilidade. Limusa editorial.
5. Walpole, r. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. Pearson.