Análise dimensional

O que é análise dimensional?

Ele análise dimensional É uma ferramenta amplamente usada em diferentes ramos da ciência e da engenharia para entender melhor os fenômenos que implicam a presença de diferentes magnitudes físicas. As magnitudes têm dimensões e, a partir delas, as diferentes unidades de medida são derivadas.

A origem do conceito de dimensão é encontrada no matemático francês Joseph Fourier, que foi quem cunhou. Fourier também entendeu que, para que duas equações sejam comparáveis, elas devem ser homogêneas em relação às suas dimensões. Isto é, você não pode adicionar medidores com quilogramas.

Assim, a análise dimensional é responsável pelo estudo das magnitudes, dimensões e homogeneidade das equações físicas. Portanto, é frequentemente usado para verificar relacionamentos e cálculos, ou para construir hipóteses sobre questões complicadas que, posteriormente, podem ser experimentadas experimentalmente.

Dessa maneira, a análise dimensional é uma ferramenta perfeita para detectar erros nos cálculos ao verificar a congruência ou incongruência das unidades usadas nelas, especialmente focando nas unidades dos resultados finais.

Além disso, a análise dimensional é usada para projetar experimentos sistemáticos. Permite reduzir o número de experimentos necessários, bem como facilitar a interpretação dos resultados obtidos.

Uma das bases fundamentais da análise dimensional é que é possível.

Magnitudes fundamentais e fórmula dimensional

Na física, magnitudes fundamentais são consideradas expressas a outros com base nesses. Por convenção, os seguintes foram escolhidos: o comprimento (l), o tempo (t), a massa (m), a intensidade da corrente elétrica (i), a temperatura (θ), a intensidade da luz (j) e o quantidade de substância (n).

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Pelo contrário, o resto é considerado magnitudes derivadas. Alguns deles são: a área, volume, densidade, velocidade, aceleração, entre outros.

É definido como uma fórmula dimensional para a igualdade matemática que apresenta a relação entre uma magnitude derivada e o fundamental.

Técnicas de análise dimensional

Existem várias técnicas ou métodos de análise dimensional. Dois dos mais importantes são os seguintes:

Método de Rayleight

Rayleight, que estava com Fourier um dos precursores da análise dimensional, desenvolveu um método direto e muito simples que permite obter elementos sem dimensão. Neste método, as seguintes etapas são seguidas:

1. A função potencial da variável dependente é definida.
2. Cada variável é alterada para suas dimensões correspondentes.
3. As equações da condição de homogeneidade são estabelecidas.
4. N-Ps incógnitos são fixos.
5. Os expoentes que foram calculados e fixos na equação potencial são substituídos.
6. Grupos variáveis ​​se movem para definir os números sem dimensão.

Método de Buckingham

Este método é baseado no teorema de Buckingham ou no teorema do PI, que afirma o seguinte:

Se houver um relacionamento no nível dimensional homogêneo entre um número "N" de magnitudes físicas ou variáveis ​​em que "P" diferentes dimensões fundamentais são incluídas, também há uma dimenstação de homogeneidade entre o relacionamento N-P, grupos sem dimensões independentes.

Princípio da homogeneidade dimensional

O princípio de Fourier, também conhecido como o princípio da homogeneidade dimensional, afeta a estruturação adequada de expressões que vinculam magnitudes físicas algebricamente.

Este é um princípio que tem consistência matemática e afirma que a única opção é subtrair ou adicionar magnitudes físicas que são da mesma natureza. Portanto, não é possível adicionar uma massa com um comprimento ou um tempo com uma superfície, etc.

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Da mesma forma, o princípio afirma que, para que as equações físicas sejam corretas no nível dimensional, os termos totais dos membros dos dois lados da igualdade devem ter a mesma dimensão. Este princípio permite garantir a coerência das equações físicas.

Princípio de similaridade

O princípio da similaridade é uma extensão do caráter de homogeneidade no nível dimensional das equações físicas. É afirmado o seguinte:

As leis físicas permanecem sem variação diante da mudança das dimensões (tamanho) de um fato físico no mesmo sistema de unidades, sejam mudanças reais ou imaginárias.

A aplicação mais clara do princípio da similaridade ocorre na análise das propriedades físicas de um modelo fabricado em menor escala, para usar posteriormente os resultados no objeto para o tamanho real.

Essa prática é fundamental em áreas como o design e a fabricação de aviões e navios e em grandes obras hidráulicas.

Aplicações de análise dimensional

Entre as muitas aplicações da análise dimensional, as listadas abaixo podem ser destacadas abaixo.

• Localize possíveis erros nas operações executadas
• Resolva problemas cuja resolução apresenta alguma dificuldade matemática intransponível.
• Projetar e analisar modelos de escala reduzidos.
• Fazer observações sobre como as modificações possíveis influenciam um modelo.

Além disso, a análise dimensional é usada com bastante frequência no estudo da mecânica de fluidos.

A relevância da análise dimensional da mecânica de fluidos se deve ao quão difícil é estabelecer equações em certos fluxos, bem como a dificuldade em resolvê -las, por isso é impossível alcançar relacionamentos empíricos. É por isso que é necessário ir ao método experimental.

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Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Encontre a equação dimensional de velocidade e aceleração.

Solução

Como v = s / t, é verdade que: [v] = l / t = l ∙ t^-1

De forma similar:

A = v / t

[a] = l / t² = L ∙ t^-2

Segundo exercício

Determinar a equação dimensional da quantidade de movimento.

Solução

Como a quantidade de movimento é o produto entre massa e velocidade, é cumprido que p = m ∙ v

Por tanto:

[P] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2