Características e propriedades vetoriais, elementos, tipos, exemplos

O vetores São entidades matemáticas que têm uma magnitude -positiva -, geralmente acompanhada por uma unidade de medida, além de direção e significado. Tais características são muito apropriadas para descrever quantidades físicas, como velocidade, força, aceleração e muito mais.

Com vetores, é possível executar operações como soma, subtração e produtos. A divisão não é definida para vetores e, quanto ao produto, há três classes que descreveremos mais adiante: produto escalar ou de ponto, vetor ou produto cruzado e produto de um escalar para um vetor.

figura 1. Os elementos de um vetor. Fonte: Wikimedia Commons.

Para descrever completamente um vetor, é necessário indicar todas as suas características. A magnitude ou módulo é um valor numérico acompanhado por uma unidade, enquanto a direção e o significado são estabelecidos com a ajuda de um sistema de coordenadas.

Vejamos um exemplo: suponha que um avião voe de uma cidade para outra à taxa de 850 km/h na direção. Aqui temos um vetor completamente especificado, porque a magnitude está disponível: 850 km/h, enquanto a direção e o significado são ne.

Os vetores geralmente são representados graficamente por segmentos de linha orientados, cujo comprimento é proporcional à magnitude.

Embora para especificar a direção e o significado, é necessária uma linha de referência que geralmente é o eixo horizontal, embora o norte também possa ser tomado como referência, esse é o caso da velocidade do plano:

Figura 2. Um vetor de velocidade. Fonte: f. Zapata.

A figura mostra o vetor de velocidade do avião, que é indicado como v em audacioso, para distingui -lo de uma quantidade escalar, que requer apenas um valor numérico e alguma unidade a ser especificada.

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Elementos de um vetor

Como dissemos, os elementos vetoriais são:

-Magnitude ou módulo, às vezes também chamado de valor absoluto ou padrão vetorial.

-Endereço

-Senso

No exemplo da Figura 2, o módulo de v São 850 km/h. O módulo é indicado como V sem negrito, ou como |v|, Onde as barras representam o valor absoluto.

O endereço de v é especificado em relação ao norte. Nesse caso, é 45º ao norte do leste (45º NE). Finalmente a ponta da seta informa sobre a direção de v.

Neste exemplo, a origem vetorial foi desenhada coincidindo com o sistema de origem ou coordenadas, isso é conhecido como Vetor vinculado. Por outro lado, se a origem do vetor não corresponde a do sistema de referência, diz -se que é um vetor livre.

Deve -se notar que, para especificar completamente o vetor, esses três elementos devem ser indicados, caso contrário, a descrição do vetor seria incompleta.

Componentes retangulares de um vetor

Figura 3. Componentes retangulares de um vetor no plano. Fonte: Wikimedia Commons. Para mais [CC BY-SA 3.0 (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/3.0)]

Na imagem, temos de volta nosso exemplo de vetor v, isso está no avião XY.

É fácil perceber que as projeções v nos eixos de coordenadas x e y determinam um triângulo certo. Essas projeções são v_e e v_x e são chamados de componentes retangulares de v.

Uma maneira de denotar v Através de seus componentes retangulares, é assim: v = x, v_e>. Esses colchetes são usados ​​em vez de parênteses para enfatizar o fato de que é um vetor e não um ponto, pois neste caso os parênteses seriam usados.

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Se o vetor estiver no espaço tridimensional, mais um componente será necessário, para que:

v = x, v_e, v_z>

Conhecendo os componentes retangulares, a magnitude do vetor é calculada, equivalente a encontrar a hipotenusa do triângulo certo cujas pernas são v_x e v_e,. Através do teorema de Pitágoras, segue -se que:

|v|² = (v_x)² +  (v_e)²

Forma polar de um vetor

Quando a magnitude do vetor é conhecida |v| E o ângulo θ que este formulário com o eixo de referência, geralmente o eixo horizontal, o vetor é igualmente especificado. Dizem então que o vetor é expresso em forma polar.

Os componentes retangulares neste caso são facilmente calculados:

v_x = |v|.cos θ

v_e = |v|.sin θ

De acordo com o exposto, os componentes retangulares do vetor de velocidade v do avião seria:

v_x = 850 . cos 45º km/h = 601.04 km/h

v_e = 850 . Sen 45º km/h = 601.04 km/h

Pessoal

Existem vários tipos de vetores. Existem vetores de veia, posição, deslocamento, força, campo elétrico, quantidade de movimento e muito mais. Como já dissemos, na física, existem muitas magnitudes vetoriais.

Quanto aos vetores que têm certas características, podemos mencionar os seguintes tipos de vetores:

-Nulo: Esses são vetores cuja magnitude é 0 e que são denotados como 0. Lembre -se de que a letra ousada simboliza as três características fundamentais de um vetor, enquanto a letra normal representa apenas para o módulo.

Por exemplo, sobre um corpo em equilíbrio estático, a soma das forças deve ser um vetor nulo.

-Grátis e vinculado: Vetores livres são aqueles cujos pontos de origem e chegada são qualquer par de pontos do avião ou espaço, diferentemente dos vetores vinculados, cuja origem coincide com o do sistema de referência usado para descrevê -los.

O par ou momento produzido por algumas forças é um bom exemplo de vetor livre, pois o torque não se aplica a algum ponto específico.

-Equipamento: São dois vetores livres que compartilham características idênticas. Portanto, eles têm a mesma magnitude, direção e significado.

-Coplanares ou coplanarios: vetores que pertencem ao mesmo avião.

-Opostos: vetores com igual magnitude e direção, mas sentidos opostos. O vetor oposto a um vetor v É o vetor -v E a soma de ambos é o vetor nulo: v + (-v) = 0.

-Simultâneo: vetores cujas linhas de ação passam pelo mesmo ponto.

-Deslizar: são aqueles vetores cujo ponto de aplicação pode deslizar ao longo de uma linha específica.

-Colineal: vetores que estão localizados na mesma linha.

-Unitário: Aqueles vetores cujo módulo é 1.

Vetores da unidade ortogonal

Existe um tipo de vetor muito útil na física chamada Orthogonal Unit Vector. O vetor da unidade ortogonal possui um módulo igual a 1 e as unidades podem ser qualquer, por exemplo, aquelas de velocidade, posição, força ou outra.

Há um conjunto de vetores especiais que ajudam a representar facilmente outros vetores e executar operações com eles: eles são os vetores da unidade ortogonal Yo, J e k, Unitário e perpendicular um ao outro.

Em duas dimensões, esses vetores são direcionados ao longo do sentido positivo de ambos os eixos x A partir do eixo e. E em três dimensões, um vetor de unidade é adicionado na direção do eixo z positivo. Eles estão representados da seguinte maneira:

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Yo =

J =

k =

Um vetor pode ser representado por vetores de unidade Yo, J e k Como segue:

v = v_x Yo + v_e J + v_z k

Por exemplo, o vetor de velocidade v A partir dos exemplos anteriores, você pode escrever como:

v = 601.04 Yo + 601.04 J km/h

O componente em k Não é necessário, pois este vetor está no plano.

Soma de vetores

A soma dos vetores aparece com muita frequência em várias situações, por exemplo, quando você deseja encontrar a força resultante em um objeto que é afetado por várias forças. Para começar, suponha que você tenha dois vetores livres ou e v No avião, como o seguinte mostra a esquerda:

Figura 4. Soma gráfica de dois vetores. Fonte: Wikimedia Commons. LLUC CABANACH [CC BY-SA 3.0 (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/3.0)].

Ele se muda imediatamente para o vetor v, sem modificar sua magnitude, direção ou significado, de modo que se origina coincide com o fim de ou.

O vetor da soma é chamado C e é desenhado a partir de u terminando em v, De acordo com a figura certa. É importante observar que a magnitude do vetor C Não é necessariamente a soma das magnitudes de v e ou.

Se é cuidadosamente refletido nesse sentido, a única ocasião em que a magnitude do vetor resultante é a soma das magnitudes dos adição. É quando ambos os viciados estão na mesma direção e têm o mesmo significado.

E o que acontece se os vetores não forem livres? Também é muito fácil adicioná -los. A maneira de fazer é adicionar componente componente ou método analítico.

Como exemplo, vamos considerar os vetores da figura a seguir, a primeira coisa é expressá -los de uma das formas cartesianas explicadas anteriormente:

Figura 5. Soma de dois vetores vinculados. Fonte: Wikimedia Commons.

v =

ou =

Para obter o componente em x do vetor acrescenta C, Os respectivos componentes são adicionados em x de v e ou: C_x = 5+2 = 7. E para obter C_e Um procedimento análogo é seguido: W_e = 1+3. Portanto:

ou =

Propriedades da soma dos vetores

-A soma de dois ou mais vetores resulta em outro vetor.

-É comutativo, a ordem das adições não altera a soma, de modo que:

ou + v = v + ou

-O elemento neutro da soma dos vetores é o vetor nulo: v + 0 = v

-A subtração de dois vetores é definida como a soma do oposto: v - u = v + (-ou)

Exemplos de vetores

Como dissemos, existem inúmeras quantidades vetoriais na física. Entre os mais conhecidos estão:

-Posição

-Deslocamento

-Velocidade média e velocidade instantânea

-Aceleração

-Força

-Quantidade de movimento

-Torque ou momento de força

-Impulso

-Campo elétrico

-Campo magnético

-Momento magnético

Por outro lado, eles não são vetores, mas escalando:

-Tempo

-Massa

-Temperatura

-Volume

-Densidade

-Trabalho mecanico

-Energia

-Aquecer

-Poder

-Tensão

-Corrente elétrica

Outras operações entre vetores

Além da soma e subtração de vetores, existem três outras operações entre vetores muito importantes, porque eles dão origem a novas magnitudes físicas muito importantes:

-Produto de um escalar para um vetor.

-O produto escalar ou produto pontual entre vetores

-E o produto cruzado ou vetorial entre dois vetores.

Produto de um escalar para um vetor

Considere a segunda lei de Newton, que afirma que a força F e aceleração para Eles são proporcionais. A constante de proporcionalidade é a massa m do objeto, portanto:

F = m.para

A massa é um escalar; Por sua parte, força e aceleração são vetores. Como a força é obtida multiplicando a massa pela aceleração, é o resultado do produto de um escalar por um vetor.

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Este tipo de produto sempre resulta em um vetor. Aqui outro exemplo: a quantidade de movimento. Ser P A quantidade de movimento vetorial, v O vetor de velocidade e como sempre, m é a massa:

P = m.v

Produto escalar ou produto pontual entre vetores

Colocamos um trabalho mecânico na lista de magnitudes que não são vetores. No entanto, o trabalho em física é o resultado de uma operação entre vetores chamado produto escalar, produto interno ou produto de ponto.

Sejam os vetores v e ou, O produto de ponto ou escalada é definido entre eles:

v∙ou = |v| ∙ |ou |.cos θ

Sendo θ o ângulo entre eles. A partir da equação mostrada, é imediatamente deduzido que o resultado do produto Point é um escalar e também que se ambos os vetores forem perpendiculares, seu produto escalar será 0.

Voltar ao trabalho mecânico C, Este é o produto escalar entre o vetor de força F e o deslocamento vetorial ℓ.

W = F∙ℓ                  

Quando os vetores estão disponíveis em termos de seus componentes, o produto Point também é muito simples de calcular. Sim v = x, v_e, v_z > e ou = x, ou_e, ou_z >, O produto de ponto entre os dois é:

v∙ou = v_x ou_x + v_e ou_e + v_z ou_z

O produto de ponto entre os vetores é comutativo, portanto:

v∙ou = ou∙v

Produto transversal ou produto vetorial entre vetores

Sim v E você é nossos dois vetores de exemplo, o produto vetorial é definido como:

v x ou = C

Segue imediatamente que o produto cruzado resulta em um vetor, cujo módulo é definido como:

|v x u | = | V | . | u |. sin θ

Onde θ É o ângulo entre os vetores.

O produto cruzado não é comutativo, portanto v x u ≠ u x v. De fato v x U = - (u x V).

Se os dois exemplo forem expressos em termos de vetores da unidade, o cálculo do produto vetorial será facilitado:

v = v_x Yo + v_e J + v_z k

ou = u_x Yo + ou_e J + ou_z k

Cruz produtos entre vetores de unidade

O produto cruzado entre vetores de unidade idêntica é nulo, pois o ângulo entre eles é 0º. Mas entre diferentes vetores unitários, o ângulo entre eles é 90º e sin 90º = 1.

O esquema a seguir ajuda a encontrar esses produtos. Na direção da seta, faz sentido positivo e na direção oposta:

Yo x J = K, J x k = Yo; k x Yo = J; J x i = -k; k x J = -Yo; Yo x k = -J

Aplicando a propriedade distributiva, que permanece válida para produtos entre vetores mais as propriedades dos vetores da unidade, você tem:

v x ou = (v_x Yo + v_e J + v_z k) X (u_x Yo + ou_e J + ou_z k) =  

= (v_eou_z - v_zou_e )Yo + (v_zou_x - v_xou_z )J + (v_xou_e - v_eou_x )k

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dados os vetores:

v = -5 Yo + 4J + 1 k

ou = 2 Yo -3 J + 7k

O que deve ser o vetor C para que a soma v + ou + C resultados 6 Yo +8 J -10k?

Solução

-5 Yo + 4J + 1 k

2 Yo -3 J + 7k

 C_x Yo + C_e J + C_z k  +

--

6Yo + 8 J -10 k

Portanto, deve -se cumprir que:

-5 +2 + W_x = 6 → W_x = 9

4-3 + w_e = 8 → W_e = 7

1 + 7 + W_z = -10 → W_z = -18

A resposta é: C = 9 Yo +7 J - 18k

- Exercício 2

Qual é o ângulo entre os vetores v e ou do Exercício 1?

Solução

Vamos usar o produto escalar. Nós temos:

cos θ = v∙ou / |v| ∙ |ou|

v∙ou= -10 -12+7 = -15

|v| = √ (-5)² +4² +1²= √42 = 6.48

|ou| = √2² +(-3)² +7²= √62 = 7.87

Substituindo esses valores:

cos θ = -15 / 6.48 x 7.87 = -0.2941 → θ = 107.1º

Referências

1. Figueroa, d. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, d.  2006. Física: Princípios com aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
3. Rex, a. 2011. Fundamentos da Física. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Física da Universidade com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
5. Serway, r., Jewett, J. 2008. Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.