Triângulo isósceles

O triângulo isosceles tem dois lados iguais e um diferente

O que é um triângulo isosceles?

A Triângulo isósceles É um polígono de três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a essa característica, esse nome foi dado, o que em grego significa "pernas iguais".

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples na geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. Eles são os que têm o menor número de lados e ângulos em relação aos outros polígonos, no entanto, seu uso é muito extenso.

Características dos triângulos de isósceles

O triângulo isosceles foi classificado usando a medida de seus lados como um parâmetro, uma vez que dois de seus lados são congruentes, ou seja, eles têm o mesmo comprimento.

De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:

• Triângulo retângulo de isósceles: Dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é reto (90^qualquer) E os outros são iguais (45^qualquer cada um)
• Triângulo obtuso de isósceles: Dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é obtuso (> 90^qualquer).
• Triângulo de isósceles acutangle: Dois de seus lados são iguais. Todos os seus ângulos são agudos (< 90^qualquer), Onde dois têm a mesma medida.

Componentes

• A mediana: É uma linha que sai do ponto médio de um lado e chega ao vértice oposto. Os três meios participam em um ponto chamado Baricentro ou Centroid.
• O bissetor: É um semi -direito que divide o ângulo de cada vértice em dois ângulos de igual medida. É por isso que é conhecido como eixo de simetria, e esse tipo de triângulos tem apenas um.
• A MediaTrix: É um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio deste. Existem três mediatics em um triângulo e participam de um ponto chamado circunncentro.
• A altura: É a linha que vai do vértice para o lado que é oposto e também essa linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas, que coincidem em um ponto chamado Ortocenter.

Propriedades dos triângulos de isósceles

Os triângulos isósceles são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originários dos teoremas propostos por grandes matemáticos:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180^qualquer.

Soma dos lados

A soma das medidas de dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados congruentes

Os triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes, e o terceiro lado é diferente desses.

Ângulos congruentes

Os triângulos de isósceles também são conhecidos como triângulos isoangeriços, porque têm dois ângulos que têm a mesma medida (congruente). Estes estão localizados na base do triângulo, opostos aos lados que têm o mesmo comprimento.

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Por causa disso, o teorema que estabelece que:

"Se um triângulo tiver dois lados congruentes, os ângulos opostos a esses lados também serão congruentes". Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.

Exemplo:

Na figura seguinte, é observado um triângulo ABC. Ao desenhar seu bissetor do vértice do ângulo B para a base, o triângulo é dividido em dois triângulos BDA e BDC:

Bissetor que se divide em dois triângulos iguais ao triângulo de isósceles

Dessa maneira, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetor agora é o lado comum (BD) entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. Este é o caso de lado, ângulo, lado (lal).

Isso mostra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, assim como pode -se demonstrar que, como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados do AD e DC também são.

Altura, mediana, mediatrrix e bissetor são coincidentes

A linha desenhada do vértice oposta à base ao ponto médio da base do triângulo de Isoceles é ao mesmo tempo a altura, a mediana e a mediantrix, bem como a bissetor em relação ao ângulo oposto da base.

Todos esses segmentos coincidem em um que os representa.

Exemplo:

Na figura seguinte, o triângulo ABC é observado com um ponto M médio que divide a base em dois segmentos BM e CM.

Altura, mediana, mediatrrix e bissetor são coincidentes

Ao desenhar um segmento do ponto M para o vértice oposto, por definição, a AM mediana é obtida, que é relativa ao vértice A e ao lado BC.

À medida que o segmento AM divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais AMB e AMC, significa que o caso do lado, ângulo, lado e, portanto, AM também será o bissetor de Bâc.

É por isso que o bissetor sempre será igual à mediana e vice -versa.

O segmento AM forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; Ou seja, eles são suplementares, de modo que a medida de cada um será:

Med. (Amb) + Med. (AMC) = 180^qualquer

2 _* Med. (AMC) = 180^qualquer

Med. (AMC) = 180^qualquer ÷ 2

Med. (AMC) = 90^qualquer

Pode -se saber que os ângulos formados pelo segmento AM sobre a base do triângulo são retos, indicando que esse segmento é totalmente perpendicular à base.

Portanto, representa a altura e a mediantrix, sabendo que M é o ponto médio.

Portanto, a linha AM:

• Representa a altura do BC.
• É de tamanho médio.
• Está contido no BC MediaTrix.
• É o bissetor do ângulo de vértice â

Alturas relativas

As alturas que são relativas aos lados iguais têm a mesma medida também.

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Como o triângulo isosceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais.

Orocentro, Baricentro, Incentro e Colecentro Coinsides

Como a altura, a mediana, a bissetor e a media relacionada à base são representados ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, o Ortocentro, Baricentro, Incentre e Circumentro serão pontos colineares, ou seja, eles serão encontrados na mesma linha:

Ortocenter, Baricentro, Incentro e Circuncentro também são coincidentes

Cálculo dos triângulos de isósceles

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados.

Como neste caso, o triângulo de isosceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 2_*(lado a) + (lado b).

Como calcular a altura?

A altura é a linha perpendicular à base, divide o triângulo em duas partes iguais, estendendo -se ao vértice oposto.

A altura representa o cateto oposto (a), metade da base (b/2) para o Cateto adjacente e o lado "A" representa a hipotenusa.

Cálculo da altura de um triângulo de isósceles

Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:

para² + b² = c²

Onde:

para² = altura (h).

b² = B / 2.

c² = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras e limpando a altura que você tem:

h² + (b / 2)² = para²

h² + b² / 4 = para²

h² = para² - b² / 4

H = √ (para² - b² / 4).

Se o ângulo formado pelos lados congruentes for conhecido, a altura poderá ser calculada com a seguinte fórmula:

Como calcular a área?

Os triângulos são sempre calculados com a mesma fórmula, multiplicando a base por altura e dividindo -se por 2:

Há casos em que apenas as medidas de dois lados do triângulo são conhecidas e o ângulo formado entre eles. Nesse caso, para determinar a área, é necessário aplicar os motivos trigonométricos:

Como calcular a base do triângulo?

Como o triângulo isosceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base, é necessário saber pelo menos a medida da altura ou um de seus ângulos.

Conhecendo a altura, é usado o teorema de Pitágoras:

para² + b² = c²

Onde:

para² = altura (h).

c² = lado a.

b² = B / 2, é desconhecido.

Nós limpamos b² da fórmula e temos que:

b² = a² - c²

B = √ a² - c²

Como esse valor corresponde a metade da base, ele deve ser multiplicado por 2 para obter a medida completa da base do triângulo isósceles:

b = 2 _* (√ a² - c²)

No caso de apenas o valor de seus lados iguais e o ângulo entre eles é conhecido, a trigonometria é aplicada, desenhando uma linha do vértice para a base que divide o triângulo isósceles em dois retângulos triângulos.

Dessa forma, metade da base é calculada com:

O valor da altura e ângulo do vértice que se opõe à base também é conhecido. Nesse caso, por trigonometria, a base pode ser determinada:

Exercícios

Primeiro exercício

Encontre a área do triângulo ABC de isósceles, sabendo que dois de seus lados medem 10 cm e o terceiro lado mede 12 cm.

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Solução

Para encontrar a área do triângulo, é necessário.

Os seguintes dados do Triângulo de Isoceles estão disponíveis:

• Lados iguais (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Os valores são substituídos na fórmula:

Segundo exercício

O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo de isósceles mede 42 cm, a união desses lados forma um ângulo de 130^qualquer. Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.

Solução

Nesse caso, as medidas dos lados e o ângulo são conhecidos entre estes.

Para saber o valor do lado que faltava, ou seja, a base desse triângulo, uma linha perpendicular a ele é desenhada, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo que é formado.

• Lados iguais (a) = 42 cm.
• Ângulo (ɵ) = 130^qualquer

Agora, por trigonometria, é calculado o valor de metade da base, que corresponde a metade da hipotenusa:

Para calcular a área, é necessário conhecer a altura desse triângulo, que pode ser calculado por trigonometria ou pelo teorema de Pitágoras, agora que o valor da base já foi determinado.

Por trigonometria será:

O perímetro é calculado:

P = 2_*(lado a) + (lado b).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terceiro exercício

Calcule os ângulos internos do triângulo de isósceles, sabendo que o ângulo base é â = 55^qualquer

Solução

Para encontrar os dois ângulos ausentes (ê e ô), é necessário lembrar duas propriedades dos triângulos:

• A soma dos ângulos internos de cada triângulo sempre será = 180^qualquer:

 + ê + ô = 180 ^qualquer

• Em um triângulo de isósceles, os ângulos da base são sempre congruentes, ou seja, eles têm a mesma medida, portanto:

 = ô

Ê = 55^qualquer

Para determinar o valor do ângulo ê, os valores dos outros ângulos na primeira regra são substituídos e Ê é limpo:

55^qualquer + 55^qualquer + Ô = 180 ^qualquer

110 ^qualquer + Ô = 180 ^qualquer

Ô = 180 ^qualquer - 110 ^qualquer

Ô = 70 ^qualquer.

Referências

1. Álvarez, e. (2003). Elementos de geometria: com numerosos exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellin.
2. Álvaro Rendón, para. R. (2004). Desenho técnico: caderno de atividade.
3. Anjo, a. R. (2007). Álgebra Elementar. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. ( mil novecentos e noventa e seis). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
5. Baldor, a. (1941). Álgebra. Havana: Cultura.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Matemática 2.
7. Tuma, j. (1998). Manual de Matemática de Engenharia. Wolfram Mathworld.