Características do Triângulo Balcalheiro, Propriedades, Fórmulas, Área

A Triângulo equilátero É um polígono de três lados, onde todos são iguais; isto é, eles têm a mesma medida. Para essa característica, recebeu o nome de equilíbrio (lados iguais).

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples na geometria, porque três lados, três ângulos e três vértices são formados. No caso do triângulo equilátero, por ter lados iguais, isso implica que seus três ângulos também serão.

Um exemplo do triângulo equiláteis

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Características dos triângulos de equilíbrio

- Lados iguais

Os triângulos equiláteis são figuras planas e fechadas, compostas por três linhas de linhas. Os triângulos são classificados por suas características, em relação aos lados e ângulos; O equilátero foi classificado usando a medida de seus lados como um parâmetro, pois estes são exatamente os mesmos, ou seja, eles são congruentes.

O triângulo equilátero é um caso particular do triângulo de isósceles porque dois de seus lados são congruentes. É por isso que todos os triângulos equiláteis também são isósceles, mas nem todos os triângulos isósceles serão equiláteis.

Dessa maneira.

Os triângulos equiláteis também podem ser classificados pela amplitude de seus ângulos internos como um triângulo agudo equilateral, que tem todos os três lados e três ângulos internos com a mesma medida. Os ângulos serão agudos, ou seja, eles serão menores de 90^qualquer.

- Componentes

Triangles em geral têm várias linhas e pontos que a compõem. Eles são usados ​​para calcular a área, laterais, ângulos, mediana, bissector, mediatrrix e altura.

• A mediana: É uma linha que sai do ponto médio de um lado e chega ao vértice oposto. Os três meios participam em um ponto chamado Baricentro ou Centroid.
• O bissetor: É um semi -direito que divide o ângulo dos vértices em dois ângulos de igual medida, por isso é conhecido como eixo de simetria. O triângulo equilátero tem três eixos de simetria. No triângulo equilátero, a bissetor é retirada do vértice de um ângulo para seu lado oposto, cortando -o em seu ponto médio. Você está em questão chamado incentador.
• A MediaTrix: É um segmento perpendicular ao lado do triângulo que se origina no meio deste. Existem três mediatics em um triângulo e eles concordam em um ponto chamado circunncentro.
• A altura: É a linha que vai do vértice para o lado que é oposto e também essa linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto chamado Ortotenter.

No gráfico seguinte, observamos um triângulo escaleno onde alguns dos componentes mencionados acima são detalhados

Podemos ver claramente os componentes, algo mais difícil no triângulo equilátero, já que alguns coincidem. Nós os explicamos abaixo:

A bissetor, a mediana e mediantrix são coincidentes

O bissetor se divide ao lado de um triângulo em duas partes. Em triângulos equilaterais, esse lado será dividido em duas exatamente as mesmas partes, ou seja, o triângulo será dividido em dois triângulos congruentes.

Assim, o bissetor retirado de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a mediana e a mediantrix do lado oposto a esse ângulo.

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Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um M MID que divide um de seus lados em dois segmentos de AD e BD.

Ao desenhar uma linha do ponto D para o vértice oposto, por definição, o CD mediano é obtido, o que é relativo ao vértice C e ao lado AB.

À medida que o segmento de CD divide o triângulo ABC em dois triângulos CDB e CDA iguais, significa que será o caso de congruência: lado, ângulo, lado e, portanto, CD também será o BCD Bisector.

Ao desenhar o segmento de CD, o ângulo do vértice é dividido em dois ângulos iguais de 30^qualquer, O ângulo do vértice a continua a medir 60^qualquer E a linha do CD forma um ângulo de 90^qualquer Sobre o ponto médio D.

O segmento de CD forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos ADC e BDC, ou seja, eles são suplementares de tal maneira que a medida de cada um será:

Med. (Adb) + Med. (ADC) = 180^qualquer

2 _* Med. (ADC) = 180^qualquer

Med. (ADC) = 180^qualquer ÷ 2

Med. (ADC) = 90^qualquer.

E assim, o segmento de CD também é o MediaTrix no lado AB.

A bissetor e a altura são coincidentes

Quando o bissetor rastreia do vértice de um ângulo até o ponto médio do lado oposto, isso divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

De tal maneira que um ângulo de 90 seja formado^qualquer (reto). Isso indica que esse segmento de linha é totalmente perpendicular a esse lado e, por definição, essa linha seria a altura.

Dessa maneira.

Orocentro, Baricentro, Incentro e Colecentro Coinsides

Como a altura, mediana, bissetor e mediatrix são representados ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, em um triângulo equilátero os pontos de encontro desses segmentos -o ortocentro, o baricente, o incentivo e a circuncisão -serão encontrados no mesmo ponto:

Propriedades

A principal propriedade dos triângulos equiláteis é que eles sempre serão triângulos isósceles, uma vez que os isósceles são formados por dois lados congruentes e os equilíbrios por três.

Dessa maneira, os triângulos equilaterais herdaram todas as propriedades do triângulo de isósceles:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180^qualquer, E como todos os seus ângulos são congruentes, então cada um deles medirá 60^qualquer.

Ângulos externos

A soma dos ângulos externos sempre será igual a 360^qualquer, Portanto, cada ângulo externo medirá 120^qualquer. Isso ocorre porque os ângulos internos e externos são suplementares, isto é, adicionando -os, eles sempre serão iguais a 180^qualquer.

Soma dos lados

A soma das medidas de dois lados deve sempre ser maior que a medida do terceiro lado, ou seja, a + b> c, onde a, b e c são as medições de cada lado.

Lados congruentes

Os triângulos equiláteis têm seus três lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes. Portanto, no item anterior, você precisa = b = c.

Ângulos congruentes

Os triângulos equiláteis também são conhecidos como triângulos equianos, porque seus três ângulos internos são congruentes um com o outro. Isso ocorre porque todos os seus lados também têm a mesma medida.

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Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados. Como neste caso, o triângulo equilátero tem todos os seus lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 3 _* lado.

Como calcular a altura?

Como a altura é a linha perpendicular à base, divide -a em duas partes iguais, estendendo -se ao vértice oposto. Assim, dois triângulos são formados com retângulos iguais.

A altura (h) representa o cateto oposto (a), metade do lado CA para o Cateto adjacente (B) e o lado BC representa a hipotenusa (C).

Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:

para² + b² = c²

Onde:

para² = altura (h).

b² = lado b / 2.

c² = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras e limpando a altura que você tem:

h² + ( eu / 2)² = eu²

h² +  eu²/ 4 = eu²

h² = eu²  -  eu²/ 4

h² = (4_*eu² -  eu²) / 4

h² =  3_*eu² /4

√h² = √ (3_*eu² /4)

Se o ângulo formado pelos lados congruentes, a altura (representada por uma perna) é conhecida, ela pode ser calculada aplicando as razões trigonométricas.

As categorias são chamadas opostas ou adjacentes, dependendo do ângulo que é tomado como referência.

Por exemplo, na figura anterior, o Cateto H será oposto ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo B:

Assim, a altura pode ser calculada com:

Como calcular os lados?

Há casos em que as medidas dos lados do triângulo não são conhecidas, mas sua altura e os ângulos formados nos vértices.

Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar motivos trigonométricos.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, a categoria é identificada e a razão trigonométrica correspondente é usada:

Assim, o Cateto AB será oposto ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo a. Dependendo da lateral ou perna correspondente à altura, o outro lado é limpo para obter o valor disso, sabendo que em um triângulo equilátero os três lados sempre terão a mesma medida.

Como calcular a área?

Os triângulos são sempre calculados com a mesma fórmula, multiplicando a base por altura e dividindo por dois:

Área = (b _* H) ÷ 2

Sabendo que a altura é dada pela fórmula:

Exercícios

- Primeiro exercício

Os lados de um triângulo equilátero da ABC medem 20 cm cada. Calcule a altura e a área desse polígono.

Solução

Para determinar a área desse triângulo equilátero, é necessário calcular a altura, sabendo que, ao desenhá -lo, ele divide o triângulo em dois retângulos iguais.

Dessa forma, você pode usar o teorema de Pitágoras para encontrá -lo:

para² + b² = c²

Onde:

A = 20/2 = 10 cm.

B = altura.

C = 20 cm.

Os dados são substituídos no teorema:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400 - 100) cm

b² = 300cm

B = √300 cm

B = 17,32 cm.

Isto é, a altura do triângulo é igual a 17,32 cm. Agora é possível calcular a área do triângulo dado substituindo a fórmula:

Área = (b _* H) ÷ 2

Área = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

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Área = 346,40 cm² ÷ 2

Área = 173,20 cm².

Outra maneira mais simples de resolver o exercício é substituir os dados na fórmula direta da área, onde o valor da altura também é encontrado implicitamente:

- Segundo exercício

Em um campo que tem a forma de um triângulo equilátero, as flores vão plantar. Se o perímetro desse terreno é igual a 450 m, calcule o número de metros que ocupavam as flores.

Solução

Sabendo que o perímetro de um triângulo corresponde à soma de seus três lados e, como o terreno é moldado como um triângulo equilátero, os três lados disso terão a mesma medida ou comprimento:

P = lado + lado + lado = 3 _* eu

3 _* eu = 450 m.

L = 450 m ÷ 3

L = 150 m.

Agora é necessário apenas calcular a altura desse triângulo.

A altura divide o triângulo em dois triângulos congruentes, onde uma das categorias representa a altura e a outra metade da base. Pelo teorema de Pitágoras, a altura pode ser determinada:

para² + b² = c²

Onde:

para = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = altura

Os dados são substituídos no teorema:

(75 m)² + b² = (150 m)²

5.625 m + b² = 22.500 m

b² = 22.500 m - 5.625 m

b² = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Assim, a área em que as flores ocuparão será:

Área = B * H ÷ 2

Área = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Área = (19.485 m²) ÷ 2

Área = 9.742,5 m²

- Terceiro exercício

O Triângulo Equilateral da ABC é dividido por um segmento de linha que vai do seu vértice C ao ponto médio D, localizado no lado oposto (AB). Este segmento mede 62 metros. Calcule a área e o perímetro desse triângulo equiláteis.

Solução

Sabendo que o triângulo equilátero é dividido por um segmento de linha que corresponde à altura, formando assim dois retângulos congruentes, isso também divide o ângulo de vértice c em dois ângulos com a mesma medida, 30^qualquer cada um.

A altura forma um ângulo de 90^qualquer Em relação ao segmento AB, e o ângulo do vértice para então medir 60^qualquer.

Em seguida, usando o ângulo de 30 como referência^qualquer, A altura do CD é estabelecida como um cateto adjacente ao ângulo e BC como hipotenusa.

A partir desses dados, o valor de um dos lados do triângulo pode ser determinado, usando os motivos trigonométricos:

Como no triângulo equilátero, todos os lados têm exatamente a mesma medida ou comprimento, significa que cada lado do triângulo equilátero da ABC é igual a 71,6 metros. Sabendo disso, é possível determinar sua área:

Área = B * H ÷ 2

Área = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Área = 4.438,6 m² ÷ 2

Área = 2.219,3 m²

O perímetro é dado pela soma de seus três lados:

P = lado + lado + lado = 3 _* eu

P = 3_*eu

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Referências

1. Álvaro Rendón, para. R. (2004). Desenho técnico: caderno de atividade.
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4. Barbosa, J. eu. (2006). Geometria euclidiana plana. Sbm. Rio de Janeiro, .
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6. Euclides, r. P. (1886). Elementos da geometria de Euclides.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria e trigonometria.
8. León Fernández, G. S. (2007). Geometria integrada. Instituto Tecnológico Metropolitano.
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