Tipos de integrais

O Tipos de integrais que estamos no cálculo são as integrais indefinidas e as integrais definidas. Embora as integrais definidas tenham muito mais aplicações do que as integrais indefinidas, é necessário primeiro aprender a resolver integrais indefinidos.

Uma das aplicações mais atraentes das integrais definidas é o cálculo do volume de um sólido de revolução. Ambos os tipos de integrais têm as mesmas propriedades de linearidade e também as técnicas de integração não dependem do tipo de integral.

Mas, apesar de ser muito semelhante, há uma diferença principal; No primeiro tipo de integral, o resultado é uma função (que não é específica) enquanto no segundo tipo o resultado é um número.

Tipos básicos de integrais

O mundo das integrais é muito amplo, mas dentro disso podemos distinguir dois tipos básicos de integrais, que têm grande aplicabilidade na vida cotidiana.

1- integrais indefinidos

Se f '(x) = f (x) para todos os x no domínio de f, dizemos que f (x) é um antiderivativo, uma primitiva ou uma integral de f (x).

Por outro lado, vamos notar que (f (x)+c) '= f' (x) = f (x), o que implica que a integral de uma função não é única, uma vez que fornece valores diferentes à constante C vamos obter diferentes antiderivativos.

Por esse motivo, f (x)+c é chamado de integral indefinida de f (x) e c é chamado constante de integração e nós o escrevemos da seguinte forma:

Como podemos ver, a integral indefinida da função f (x) é uma família de funções.

Por exemplo, se você deseja calcular a integral indefinida da função f (x) = 3x², primeiro um antiderivado de f (x) deve ser encontrado primeiro.

É fácil observar que f (x) = x³ é um antiderivativo, pois f '(x) = 3x². Portanto, pode -se concluir que

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³+c.

2- integrais definidos

Seja y = f (x) Uma função real continua em um intervalo fechado [a, b] e seja f (x) um antiderivado de f (x). É chamado de integral definida de f (x) entre os limites A e B ao número F (b) -f (a) e denota da seguinte maneira:

A fórmula mostrada acima é mais conhecida como "o teorema fundamental do cálculo". Aqui "A" é chamado de limite inferior e "B" é chamado de limite superior. Como pode ser visto, a integral definida de uma função é um número.

Nesse caso, se a integral definida de f (x) = 3x² for calculada no intervalo [0,3], um número será obtido.

Para determinar esse número, escolhemos f (x) = x³ como antiderivado de f (x) = 3x². Em seguida, calculamos F (3) -f (0), que nos joga como resultado 27-0 = 27. Em conclusão, a integral definida de f (x) no intervalo [0,3] é 27.

Pode -se notar que se g (x) = x³+3, então g (x) for escolhido, for um antiderivado de f (x) diferente de f (x), mas isso não afeta o resultado como g (3) -g (0) = (27+3)-(3) = 27. Por esse motivo, nas integrais definidas, a constante de integração não aparece.

Uma das aplicações mais úteis que esse tipo de integral possui é que ele permite calcular a área (volume) de uma figura plana (de uma revolução sólida), estabelecendo funções e limites de integração adequados (e um eixo de rotação).

Entre as integrais definidas, podemos encontrar várias extensões desta, como linhas integrais, integrais de superfície, integrais inadequados, múltiplas integrais, entre outras, todas com aplicações muito úteis em ciência e engenharia.

Referências

1. Kishan, h. (2005). Cálculo integral. Atlantic Publishers & Distributores.
2. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (Nono ed.). Prentice Hall.