Teorema do fator de explicação, exemplos, exercícios

Ele Teorema do fator afirma que um polinomial p (x) é divisível por um binomial da forma (x - a) se x = a é uma raiz de p (x), que é p (a) = 0. Dizem que um polinômio é divisível entre outro quando seu resíduo ou descanso é zero.

Um polinômio é uma expressão de forma:

P (x) = a_n xⁿ + para_N-1 x^N-1 +… + A₁ x + a₀

figura 1. Teorema do fator. Fonte: f. Zapata.

Onde:

-n é o grau de polinomial, sendo o maior número inteiro ao qual a variável independente x aumenta,

-Valores a_n, para_N-1 ,… + A₁ , para₀ Eles são os coeficientes do polinomial, que geralmente são números reais, mas também podem ser números complexos.

Um polinômio de grau N pode se decompor como o produto de binômios de formulário:

(X - r_Yo)

Onde r_Yo É a raiz p (x) i-alquish:

P (x) = a_n (X - r₁) (X - r₂)… (X - r_n)

Como o número de raízes de um polinômio é igual ao grau do mesmo.

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Exemplos

- Exemplo 1

Considere o polinômio por caso:

P (x) = 3⋅x² - 7⋅x + 2

Você quer saber se esse polinômio é divisível pelo binomial (x - 2). Se o teorema do fator for usado, devemos avaliar p (x = 2) para saber se o valor 2 é uma raiz ou não é. Em seguida, passamos a avaliar a expressão:

P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Acontece que x = 2 é a raiz p (x); portanto, de acordo com o teorema do fator, o binomial (x - 2) é de fato um fator de p (x).

Vamos seguir para a verificação direta, fazendo a divisão. Os detalhes de como a divisão é feita é mostrada na figura a seguir:

Figura 2.- Divisão Polinomial P (x) entre X-2 binomial. Fonte: f. Zapata.

É verificado que o quociente entre p (x) e (x -2) fornece um polinômio de um grau menor chamado o quociente c (x) = 3⋅x - 1 com resíduo 0.

Pode atendê -lo: funções vetoriais

Podemos resumir o resultado da seguinte maneira:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0

A expressão anterior pode ser escrita de outra maneira, simplesmente lembrando que o dividendo p (x) é igual ao produto do divisor (x -2) pelo quociente (3⋅x - 1) mais o resíduo (zero neste caso ):

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0

Dessa maneira, o P (x) polinômio (x), ou seja, escreva como um produto de polinômios, o polinômio original: o polinômio original:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)

- Exemplo 2

Seja o polinomial q (x) = x³ - x + 2. Você quer saber se é divisível pelo binomial (x + 1).

A maneira mais direta é simplesmente aplicar o teorema do fator. Nesse caso, você simplesmente precisa verificar se x = -1 anúncios ou não o polinomial q (x).

Continuamos substituindo:

Q (-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

O resultado é diferente de zero; portanto, o teorema do fator garante que o polinomial q (x) não seja divisível entre (x + 1), pois q (-1) ≠.

Agora a divisão de Q (x) será feita entre o binomial (x + 1) como um método de verificação de nossa conclusão.

Nesta ocasião, a divisão será realizada através do método da divisão sintética, que consiste em colocar na linha de primeira série de grade de todos os coeficientes do polinomial, incluindo os desaparecidos, pois eles têm coeficiente zero.

Então, na primeira coluna, o termo independente do divisor é colocado, mas com o sinal mudado, no nosso caso o divisor é (x + 1). Seu termo independente é 1, mas como na primeira coluna, é colocado o sinal alterado, isto é -1.

A figura a seguir ilustra como a divisão sintética é realizada:

Pode atendê -lo: equações polinomiaisFigura 3. Exemplo de divisão sintética polinomial. Fonte: f. Zapata.

Com este resultado, está provado que (x + 1) não é um fator de polinomial q (x) = x³ - x + 2 Como o resíduo não é zero.

Esta conclusão não se surpreende, porque já havia sido previsto com o teorema do fator. Observe que, ao substituir x = -1 em q (x), o que é obtido é precisamente o resíduo ou o resto da divisão polinomial, pois q (-1) = resíduo = 2.

Obviamente, a divisão fornece as informações adicionais do quociente c (x) = x² - x.

Lembrando que o dividendo q (x) é igual ao divisor (x + 1) pela razão C (x) mais o resíduo r = 2, temos a expansão do q polinomial (x) da seguinte forma:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Deve -se notar que essa expressão não é a fatorização do referido polinomial, pois existe um termo não nulo, que é precisamente o valor do valor 2.

Exercícios

- Exercício 1

Encontre os fatores polinomiais

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

E também escreva sua fatorização.

Solução

O teorema do fator indica que devemos procurar as raízes para e então encontre os fatores (x - para), Neste caso, como é um polinômio da terceira série, deve haver três raízes. 

Como é um polinômio com coeficientes inteiros, as raízes devem estar entre os divisores do termo independente que, neste caso, é 8. Esses divisores são:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Começamos explorando +1: p (+1) = 1³ - 5⋅ 1² + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 que é diferente de 0, portanto +1 não é raiz.

Nós exploramos -1:

P (-1) = (-1)³ - 5⋅ (-1)² + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0

Do resultado, conclui -se que -1 é a raiz de p (x) y (x -( -1)) = (x + 1) é um fator polinomial.

Pode atendê -lo: quadrados mínimos

Precisamos encontrar mais dois fatores:

Tentamos o próximo que é +2:

P (+2) = (+2)³ - 5 Ad (+2)² + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Novamente, recebemos zero. Então o outro fator é (x - 2).

Como é um polinômio da terceira série, precisamos encontrar apenas um fator. Agora tentamos o valor +4 para saber se o polinomial cancela:

P (+4) = (+4)³ - 5⋅ (+4)² + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.

Em outras palavras.

Você não precisa continuar procurando, porque é um polinômio de grau 3 que tem três raízes no máximo. Neste exercício, todas as raízes acabaram sendo reais e inteiras.

Portanto, o polinomial p (x) é fator como este:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Exercício 2

Ser o Petro Polinômio³ - x + 2p. Determine o valor de p para o polinômio ser divisível por (x + 2).

Solução

Usamos o teorema do fator, que afirma que se x = -2 cancelar o polinômio então (x -( -2)) é um fator do referido polinômio.

Em seguida, X é substituído por (-2) no polinômio original, é simplificado e é igual a zero:

P⋅ (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Agora, o valor de P é limpo para que a igualdade seja cumprida a zero:

P = -2 / 10 = -⅕ 

Isso significa que Polinomial: 

-⅕⋅x³ - X - ⅖

É divisível por (x + 2), ou o que é equivalente: (x + 2) é um de seus fatores.

Referências

1. Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo editorial da Patria.
2. Demana, w. Precáculculo: gráfico, numérico e algébrico 7º ed. Pearson Education.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.