Métodos de solução do sistema de equações, exemplos, exercícios

O Sistemas de Ecutação Eles consistem em duas ou mais equações com várias variáveis ​​que devem ter uma solução comum. Eles são frequentes, porque na prática existem inúmeras situações que dependem de muitos fatores, que estão relacionados de várias maneiras.

Em geral, um sistema de equações tem a seguinte forma, onde cada função representa uma das condições que a solução deve satisfazer:

figura 1. Um sistema de equações consiste em funções M e N incógnitas. Fonte: f. Zapata.

Vejamos um exemplo: suponha que você precise fabricar folhas de papel retangulares cuja área é de 180 cm² e ter um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Para responder à pergunta, levamos em consideração que as dimensões de uma folha retangular são duas: larga e alta. Isso significa que temos 2 variáveis ​​para as quais daremos os nomes usuais de x e e.

E essas variáveis ​​devem satisfazer as duas condições impostas ao mesmo tempo:

-Primeira condição: a área da lâmina é de 180 cm². Esta será a primeira função: f₁.

-Segunda condição: o perímetro ou o contorno da folha deve ser de 54 cm. Esta é a segunda função f₂.

Para cada condição, uma equação é estabelecida usando linguagem algébrica. A área A de uma folha retangular é obtida multiplicando amplamente:

A = x.y = 180 cm²

E o perímetro P resulta da adição dos lados. Como o perímetro é a soma dos lados:

P = 2x + 2y = 54 cm

O sistema resultante de duas equações e duas incógnitas é:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Precisamos de dois números cujo produto é 180 e que o duplo produto de sua soma é 54, ou o que é o mesmo: adicionado deve dar 27. Esses números são 12 e 15.

Na seção Exercícios resolvidos, ofereceremos o método detalhado para encontrar esses valores, enquanto isso o leitor pode verificar facilmente a substituição, o que efetivamente satisfaz as duas equações.

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Exemplos de aplicações de sistemas de equações

A situação proposta acima contém 2 variáveis ​​e pelo menos 2 equações são necessárias para encontrá -las. Existem sistemas com muito mais variáveis, mas em qualquer caso, se o sistema tiver n Destes, pelo menos é necessário n equações independentes (não pode ser uma combinação linear dos outros) para encontrar a solução, se existir.

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Quanto às aplicações, elas são numerosas. Aqui estão alguns em que os sistemas de equações demonstram sua utilidade:

-Encontre as correntes que circulam através de um circuito por meio das leis de Kirchoff.

-No transporte terrestre e aéreo para estabelecer os horários de saída e chegada.

-Encontre as magnitudes das forças em sistemas dinâmicos ou estáticos sujeitos a múltiplas interações.

-Saber a quantidade de itens vendidos por um certo período de tempo, ou nas fábricas, para determinar as dimensões dos objetos para satisfazer certas condições em termos de superfície ou volume.

-Ao determinar como distribuir um capital em vários investimentos.

-Estabeleça taxas para vários serviços, por exemplo, telecomunicações ou shows e conheça a quantidade de dinheiro coletado (ver Exemplo resolvido 2)

Métodos de solução de sistemas de equações

Método de substituição

-Uma equação é escolhida e uma das variáveis ​​é limpa.

-Então você deve substituir a variável clara em outra equação. Então essa variável desaparece de lá e se o sistema tiver duas equações e duas incógnitas, há uma equação com uma variável que já pode ser clara.

-Se o sistema tiver mais de duas variáveis, você deve limpar um terceiro desconhecido de outra equação e substituí -la também.

Um exemplo de aplicação deste método é resolvido 1 resolvido 1.

Método de redução ou eliminação

Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis ​​e deixar um único. Para fazer isso, é conveniente multiplicar as equações por um fator de tal forma que, adicionando com outra equação, o desconhecido desaparece. Vejamos um exemplo:

3x² - e² = 11

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x² + 4y² = 8

Nós multiplicamos a primeira equação por 4:

12x² - 4y² = 44

x² + 4y² = 8

Ao adicionar, o desconhecido desaparece e, ficando:

13x² = 52

x² = 4

Portanto x₁ = 2 e x₂ = -2. Com esses valores, o leitor pode verificar isso e₁ = 1 e₂ = -1

Método de equalização

Quando o sistema é duas equações com duas incógnitas:

-Um desconhecido é escolhido e limpa de ambas as equações.

-Os resultados são equalizados, o que permite obter uma única equação com um único desconhecido.

-Esta equação é resolvida e o resultado é substituído em uma das clareiras anteriores para obter o valor do outro desconhecido.

Este método será aplicado no ano resolvido 2 da seção a seguir.

Método gráfico

Este método consiste em graficar as curvas que cada equação representa. O ponto de interseção é a solução do sistema. O exemplo a seguir mostra a solução gráfica do sistema:

x² + e ² = 1

2x + 4y = 0

Figura 2. A solução gráfica do sistema de equações simultâneas é encontrar a interseção das curvas. Fonte: Wikimedia Commons.

O primeiro das equações é um círculo de raio 1 focado na origem e o segundo é uma linha.

A interseção de ambos são os dois pontos mostrados em azul. O leitor pode verificar se, substituindo as coordenadas dos pontos nas equações acima, uma igualdade é obtida.

Exercícios

- Exercício resolvido 1

Você precisa fabricar folhas retangulares de área de 180 cm² e com perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Solução

O sistema a ser resolvido é:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

A segunda equação pode ser simplificada para x + y = 27, portanto:

Xy = 180

x + y = 27

Uma das incógnitas da segunda equação é limpa:

y = 27 - x

A folga é substituída no primeiro:

(27 -x) = 180

Aplicando propriedade distributiva:

-x² + 27x = 180

Multiplicando por (-1) em ambos os lados da equação e enviando 180 para o lado esquerdo:

x² - 27x +180 = 0

É uma equação de segundo grau em x, que é resolvida pela fórmula:

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Com a = 1, b = -27 e c = 180

 As soluções são: x₁ = 15 cm e x₂ = 12, portanto, as dimensões de Y são e₁ = 12 cm e e₂ = 15 cm.

- Exercício resolvido 2

Um parque de diversões tem as seguintes taxas por entrada: crianças 1.5 e adultos $ 4. Em um dia, havia 2200 visitantes, levantando $ 5050. Encontre o número de crianças e adultos que visitaram o parque naquele dia.

Figura 3. O sistema de equações serve para quebrar a coleta do parque de diversões em um dia. Fonte: Pixabay.

Solução

Ser x O número de crianças e e O número de adultos. Podemos estabelecer a primeira das equações, sabendo que a soma de ambos deve ser 2200:

x + y = 2200.

Agora vamos com o dinheiro cobrado. O preço do bilhete para crianças é 1.5 $ Para cada criança, multiplicando esse valor por x, o número de crianças, teremos o valor da entrada infantil:

1.5x = dinheiro arrecadado por ingressos para crianças

E se multiplicarmos US $ 4 por adulto para a quantidade e os visitantes adultos, o dinheiro total é obtido por todos os adultos:

4y = dinheiro arrecadado por ingressos para adultos

Adicionamos isso para obter $ 5050:

1.5x + 4y = 5050

Nosso sistema de equações é:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Vamos resolvê -lo por equalização. Limpamos a variável e a primeira e a segunda equação:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Nós igual a ambas as expressões:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Multiplamos tudo por 4 para eliminar a fração:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Agrupamos os termos com X à esquerda e os números puros à direita:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 crianças.

Substituímos esse valor em y = 2200 - x para saber o número de adultos:

y = 2200 - 1500 = 700 adultos.

Referências

1. CK-12. Sistemas de equações e desigualdades. Recuperado de: CK12.org.
2. Hoffman, J. Seleção de questões de matemática. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.