Propriedades, exemplos e exercícios axiais de simetria

O Simetria axial Ocorre quando os pontos de uma figura coincidem com os pontos de outra figura por meio de uma media reta chamada eixo de simetria. Também é chamado de simetria radial, rotacional ou cilíndrica.

Geralmente é aplicado em figuras geométricas, mas é facilmente observável por natureza, pois existem animais como borboletas, escorpiões, prateleiras ou seres humanos adequadamente que apresentam simetria axial.

Nesta foto do horizonte da cidade de Toronto e sua reflexão na simetria axial da água é exibida. (Fonte: Pixabay)

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Como encontrar o axial simétrico

Para encontrar o P 'axial simétrico de um ponto P em relação a uma linha (l), são realizadas as seguintes operações geométricas:

1.- A perpendicular à linha (L) é rastreada que passa pelo ponto P.

2.- A interceptação das duas linhas determina um ponto ou.

3.- O comprimento do segmento de PO é medido, então esse comprimento é copiado na linha (PO) a partir ou na direção de P A ou determinando o ponto P '.

4.- Ponto p.

figura 1. Dois pontos P e P 'são axialmente simétricos a um eixo (l) se o referido eixo for mediantrix do segmento PP'

Propriedades de simetria axial

- A simetria axial é isométrica, ou seja, as distâncias de uma figura geométrica e seu correspondente simétrico.

- A medida de um ângulo e a de sua simétrica são os mesmos.

- O axial simétrico de um ponto no eixo da simetria é o próprio ponto.

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- A linha simétrica de uma linha paralela ao eixo de simetria também é uma barraca paralela ao referido eixo.

- Uma linha secante para o eixo de simetria é simétrica.

- A imagem simétrica de uma linha é outra linha que forma um ângulo com o eixo de simetria da mesma medida que a da linha original.

- A imagem simétrica de uma linha perpendicular ao eixo da simetria é outra linha que se sobrepõe ao primeiro.

- Uma linha e sua linha simétrica axial formam um ângulo cujo bissetor é o eixo de simetria.

Figura 2. A simetria axial preserva distâncias e ângulos.

Exemplos de simetria axial

A natureza exibe exemplos abundantes de simetria axial. Por exemplo, você pode ver a simetria dos rostos, de insetos como borboletas, a reflexão sobre superfícies de águas e espelhos calmos ou as folhas das plantas, entre muitas outras.

Figura 3. Esta borboleta exibe simetria axial quase perfeita. (Fonte: Pixabay) Figura 4. O rosto dessa garota tem simetria axial. (Fonte: Pixabay)

Exercícios de simetria axial

Exercício 1

Você tem o triângulo dos vértices a, b e c cujas coordenadas cartesianas são respectivamente a = (2, 5), b = (1, 1) e c = (3,3). Encontre as coordenadas cartesianas do triângulo simétrico em relação ao eixo y (eixo das ordenadas).

Solução: Se um ponto p tem coordenadas (x, y), então é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo y) é p '= (-x, y). Em outras palavras.

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Nesse caso, o triângulo simétrico dos vértices a ', b' e c 'terá coordenadas:

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) e c' = (-3, 3) como pode ser verificado na Figura 6.

Figura 6. Se um ponto tiver coordenadas (x, y), seu simétrico em relação ao eixo y (eixo das ordenadas) terá coordenadas (-x, y).

Exercício 2

Em referência ao Triângulo ABC e seu A'b'c 'simétrico do Exercício 1, verifique se os lados correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm o mesmo comprimento.

Solução: Para encontrar a distância ou o comprimento dos lados, usamos a fórmula de distância euclidiana:

d (a, b) = √ ((bx-ax)^2 + (by-ay)^2) = √ ((1-2)^2 + (1-5)^2) = √ ((-1 )^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4,123

Em seguida, o comprimento do lado simétrico correspondente a'b 'é calculado:

D (a ', b') = √ ((bx'-ax ')^2 +(by'-y^2) = √ (-1 +2)^2 +(1-5)^2) = √ ((1)^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4.123

Dessa forma, está provado que a simetria axial preserva a distância entre dois pontos. O procedimento pode ser repetido para os outros dois lados do triângulo e seu simétrico para verificar a invariância no comprimento. Por exemplo | AC | = | A'c '| = √5 = 2.236.

Exercício 3

Em relação ao Triângulo ABC e seu A'B'c 'do Exercício 1, verifique se os ângulos correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm a mesma medida angular.

Solução: Para determinar as medidas dos ângulos, Bac e B'a'c ', o produto escalar dos vetores será calculado primeiro Ab com AC e então o produto escalar de A'B ' com A'C '.

Lembrando disso:

A = (2, 5), b = (1, 1) e c = (3,3)

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) e c' = (-3, 3).

Se tem:

Ab = y AC =

de forma similar

A'B ' = y AC =

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Em seguida, os seguintes produtos escalares são encontrados:

Ab⋅ac = ⋅ = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

De forma similar

A'b'⋅a'c ' = ⋅ = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

A medida do ângulo do BAC é:

∡bac = ArcCos ( Ab⋅ac / (|Ab |⋅ |AC |)) = 

ArcCos (7 / (4.123vidão2.236)) = 40,6º

Da mesma forma, a medida do ângulo b'a'c 'é:

∡b'a'c '= arcCos ( A'b'⋅a'c ' / (|A'b '|⋅ |A'c '|)) = 

ArcCos (7 / (4.123vidão2.236)) = 40,6º

Concluindo que a simetria axial preserva a medida dos ângulos.

Exercício 4

Ser um ponto p de coordenada (a, b). Encontre as coordenadas de seu p 'axial simétrico em relação à linha y = x.

Solução: Vamos chamar (a ', b') para as coordenadas do ponto simétrico P 'em relação à linha y = x. O ponto médio M do segmento pp 'possui coordenadas ((a+a')/2, (b+b ')/2) e também está na linha y = x, então a seguinte igualdade é atendida:

A + a '= b + b'

Por outro lado, o segmento pp 'tem -1 pendente de -1 por ser perpendicular à linha y = x da inclinação 1, portanto a seguinte igualdade é atendida:

B - b '= a' -a

Limpando as duas igualidades antes de 'e B' conclui -se que:

a '= b e que b' = a.

Isto é, dado um ponto p (a, b), seu axial simétrico em relação à linha y = x é p '(b, a).

Referências

1. Arce m., Blázquez e outros. Transformações planas. Recuperado de: educutmxli.arquivos.WordPress.com
2. Cálculo do CC. Simetria axial. Recuperado de: cálculo.DC
3. Superprof. Simetria axial. Recuperado de: superprof.é
4. Wikipedia. Simetria axial. Recuperado de: é.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Simetria circular. Recuperado de: em.Wikipedia.com