Seleções aleatórias com ou sem substituição

O seleção aleatória Consiste em escolher, aleatoriamente, um elemento ou amostra, com base em um conjunto de dados ou objetos. Com a substituição, significa devolver o elemento ao conjunto original e, sem substituição, significa que ele não retorna.

No primeiro caso, quando o elemento selecionado retorna ao conjunto de origem, ele não é modificado, deixando a possibilidade de que o elemento seja escolhido mais de uma vez. Dessa forma, extrações infinitas podem ser realizadas na mesma população, mesmo que consista em n elementos, sendo finitos.

Mas se a seleção for feita sem substituição, o conjunto original de elementos muda toda vez que algum elemento é extraído dele para formar a amostra. E os elementos extraídos não têm possibilidade de ser selecionado novamente.

À medida que a população está diminuindo, o número de extrações que podem ser feitas nela é finita.

Se o tamanho da população n for pequeno, há uma diferença significativa entre a seleção de elementos aleatórios com ou sem substituição. Por outro lado, quando n é muito grande, a diferença é muito menor, como será visto mais tarde.

Seleção com substituição

A probabilidade de ocorrer um certo evento X é a razão entre o número de casos favoráveis ​​e o total de casos:

P (x) = casos favoráveis/totais.

Se a população consistir em n elementos diferentes: x₁, x₂, x₃…, A probabilidade de escolher elemento x₁ é p (x₁) = 1/n.

Como há substituição, o tamanho da população permanece n, então, a probabilidade de escolher o próximo elemento x₂ é p (x₂) = 1/n.

E da mesma maneira, cada um dos elementos restantes tem a mesma probabilidade de ser selecionado:

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P (x_n) = 1/n

Portanto, sendo os eventos independentes entre si, a probabilidade de ocorrência conjunta é o produto das probabilidades de cada um deles:

P (x₁, x₂, x₃... x_n) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Seleção sem substituição

Ao escolher um certo elemento sem a substituição de uma população de tamanho n, a probabilidade de esse elemento ser escolhido é:

P (x₁) = 1/n

Uma vez feito isso, n - 1 elementos permanecem na população; portanto, a probabilidade de escolher o próximo é:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Escolhido esse elemento, a população agora consiste em n - 2 elementos, neste caso, a probabilidade de escolher o seguinte é:

P (x₃) = 1/(n - 2)

E assim por diante. A probabilidade para o único elemento é:

P (x_n) = 1/[n− (n-1)]

Finalmente, a probabilidade articular de selecionar elementos x₁, x₂, x₃… Como parte da amostra, é o produto de cada uma das probabilidades:

P (x₁, x₂, x₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Exemplos

Nas estatísticas, a ação de selecionar a amostra é um experimento, o conjunto de resultados possíveis é o espaço da amostra e os resultados do experimento constituem um evento.

Exemplo 1

Uma caixa com mármores de cores diferentes está disponível: 12 vermelho, 7 azul e 5 verde. O experimento consiste em extrair um único mármore aleatório.

Como no total, existem 24 bolinhas de gude na caixa, dos quais 12 são vermelhos, a probabilidade de retirar um mármore vermelho, denotado p (r), é:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Depois disso, você quer saber a probabilidade de extrair um mármore verde, isto é, P (V).

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Essa probabilidade depende se o mármore vermelho que foi extraído em primeiro lugar retorna à caixa ou não. Se o mármore vermelho for colocado novamente na caixa com os outros, a seleção é com substituição ou substituição e, caso contrário, é uma seleção sem substituição.

Em uma seleção com substituição, o espaço da amostra não muda, ainda existem 24 bolinhas na caixa e a probabilidade de extrair um mármore verde é:

P (v) = 5/24 = 0.vinte e um

E se o mármore vermelho inicial não for devolvido à caixa, nisso existem 23 bolinhas de gude, e a probabilidade de extrair um verde deve ser um pouco maior:

P (v) = 5/23 = 0.22

Exemplo 2

Em outro experimento com a caixa de mármore, você deseja calcular a probabilidade de que, quando dois mármores são extraídos, o primeiro é vermelho e o próximo é azul. Você pode prosseguir de duas maneiras:

a) Com substituição

Ambos os eventos são independentes, ou seja, a cor do mármore extraída primeiro não influencia a probabilidade de obter outro mármore de uma certa cor.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Sem substituição

Ao sair do primeiro mármore do lado de fora, se isso foi vermelho, a probabilidade de extrair um azul pela segunda vez é um pouco maior:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Exemplo 3

Uma cidade tem 30.000 habitantes, dos quais 15.423 são mulheres. Você deseja calcular a probabilidade de que, selecionando dois habitantes, ambos são mulheres.

a) Com substituição

Seja p (m) a probabilidade de que o habitante selecionado seja uma mulher, então:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

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Portanto, a probabilidade de a segunda pessoa escolhida também é uma mulher:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Sem substituição

Se a primeira pessoa escolhida não for "devolvida", a probabilidade de escolher uma mulher na segunda tentativa é:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Não há diferença significativa com o caso anterior. E produto 0.51410 × 0.51408 é quase igual a 0.2643, o leitor pode verificar com a calculadora.

Exercício resolvido

Uma caixa tem 5 crentes verdes, 2 crentes azuis e 3 crentes vermelhos, todos novos e idênticos. Determine a probabilidade de que, extraindo dois crentes da caixa, nenhum deles seja vermelho:

a) Com substituição. Esses eventos são independentes?

b) sem substituição, indicando se os eventos são ou não independentes.

Solução para

Há 10 acredita no total, dos quais 3 são vermelhos e 7 não são. A probabilidade P (R^*) que o primeiro acredito não é vermelho é:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

A crença é devolvida à caixa e a segunda extração é feita, com o mesmo resultado:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Os eventos são independentes, portanto, a probabilidade de que, neste experimento, nenhuma crença seja vermelha seja:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Solução b

A probabilidade de obter uma crença que não é vermelha na primeira tentativa é a mesma da seção a). Mas na segunda extração, já existem 9 crentes na caixa, portanto:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

E, nesse caso, a probabilidade de extrair uma crença que não é vermelha é:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Os eventos não são independentes.