Conceito, exemplos e exercícios de relações de proporcionalidade

As Relacionamentos de proporcionalidade Estes são vínculos entre duas ou mais variáveis, de modo que quando uma das quantidades varia, o mesmo acontece com o valor dos outros. Por exemplo, se um aumentar, outros podem aumentar ou diminuir, mas em uma quantidade uniforme.

Os matemáticos gregos antigos perceberam que algumas variáveis ​​estavam relacionadas de uma maneira muito precisa. Eles perceberam que, se um círculo for o dobro do diâmetro que outro, terá um círculo com comprimento duplo.

figura 1. O comprimento de um círculo é diretamente proporcional ao seu diâmetro D. Fonte: f. Zapata

E se o diâmetro triplicar, o contorno da circunferência também triplicará. Isso significa que um aumento no diâmetro produz um aumento proporcional no tamanho da circunferência.

E assim podemos afirmar que a duração da circunferência l é proporcional ao seu diâmetro d, que é expresso da seguinte forma:

L ∝ d

Onde o símbolo ∝ é lido "diretamente proporcional a". Para alterar o símbolo da proporcionalidade para a igualdade e incorporar valores numéricos, é necessário determinar o vínculo entre as variáveis, chamadas proporcionalmente constante.

Depois de fazer muitas medidas, os matemáticos antigos determinaram que a constante de proporcionalidade entre o tamanho L da circunferência e o diâmetro d do mesmo era o número 3.1416… os pontos suspeitos indicam uma quantidade infinita de decimais.

Este valor não é outro senão o do famoso número π (pi) e dessa maneira escrevemos:

L = π.D

Dessa maneira, a razão entre o comprimento e o diâmetro de um círculo é o mesmo que a razão entre o comprimento e o diâmetro de outro. E o melhor é que agora temos uma maneira de calcular a duração de qualquer circunferência apenas sabendo seu diâmetro.

[TOC]

Exemplos de relações de proporcionalidade

Na ciência (e na vida cotidiana também), é muito importante encontrar relacionamentos entre as variáveis, saber como as mudanças em um deles afetam o outro. Por exemplo:

Pode atendê -lo: quantos diâmetros uma circunferência tem?

-Se para fazer uma dúzia de biscoitos, são necessários 3 xícaras de farinha. Quantas xícaras são necessárias para fazer 2 dezenas?.

-Sabendo que no planeta mercúrio um objeto pesa 4 vezes menor que na Terra, quanto um carro 1 em mercúrio.5 toneladas?

-Como a mudança na força aplicada na aceleração do corpo no qual ele se aplica afeta?

-Se um veículo viajar com movimento retilíneo uniforme em uma estrada e sabemos que ele viaja 30 km em 10 minutos, qual será a distância percorrida após 20 minutos?

-Quando temos um fio através do qual uma corrente elétrica está passando, como a tensão entre suas extremidades varia se aumentar?

-Se o diâmetro de um círculo é dobrado, como sua área é afetada?

-Como a distância para a intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual afeta?

A resposta está em relacionamentos de proporcionalidade, mas nem todos os relacionamentos são do mesmo tipo. Então vamos encontrá -los para todas as situações levantadas aqui.

Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa

Duas variáveis ​​x e y estão em proporção direta se estiverem relacionadas por:

y = kx

Onde k é a proporcionalidade constante. Um exemplo é a relação entre as quantidades de farinha e cookies. Se representarmos graficamente essas variáveis, uma linha reta será obtida como a mostrada na figura:

Figura 2. Fazer 2.5 dúzias de biscoitos precisam de 7.5 xícaras de farinha (ponto C). Fonte: f. Zapata.

Sim e são os copos de farinha e x dezenas de biscoitos, o relacionamento entre eles é:

y = 3x

Para x = 1 dúzia, precisamos de y = 3 xícaras de farinha. E para x = 2.5 dúzia, y = 7 são necessárias.5 xícaras de farinha.

Pode atendê -lo: os 8 tipos de erros de medição (com exemplos)

Mas também temos:

-Aceleração para que experimenta um corpo é proporcional à força F que age sobre ele, sendo a massa do corpo, chamada m, A proporcionalidade constante:

F = mpara

Portanto, quanto maior a força aplicada, maior a aceleração produzida.

-Nos condutores ôhmicos, a tensão V entre suas extremidades é proporcional à corrente aplicada e. A constante de proporcionalidade é a resistência do motorista:

V = ri

-Quando um objeto se move com movimento retilíneo uniforme, a distância d é proporcional ao tempo t, sendo velocidade v A proporcionalidade constante:

d = v.t

Às vezes encontramos duas quantidades de modo que um aumento em um produz um diminuir proporcional no outro. Esta unidade é chamada Proporção inversa.

Por exemplo, na equação anterior, o tempo t necessário para percorrer uma certa distância D é inversamente proporcional à velocidade V da rota:

T = D/V

E assim, quanto maior a velocidade v, menor tempo o carro leva para percorrer a distância d. Se, por exemplo, a velocidade é dobrada, o tempo é reduzido pela metade.

Quando duas variáveis ​​x e y estão em proporção inversa, podemos escrever:

y = k / x

Sendo a proporcionalidade constante. O gráfico desta unidade é:

Figura 3. 1/x gráfico que representa proporcionalidade reversa. Fonte: Wikimedia Commons.

Outros tipos de proporcionalidade

Em um dos exemplos mencionados antes, nos perguntamos o que acontece com a área do círculo quando o raio aumenta. A resposta é que a área é diretamente proporcional ao quadrado do raio, sendo a constante de proporcionalidade π:

A = πr²

Caso o raio seja dobrado, a área aumentará em um fator 4.

E no caso do campo elétrico E produzido por uma carga pontual q, Sabe -se que a intensidade diminui com o inverso para o quadrado de distância r para a carga q:

E = k_e Q/R²

Pode atendê -lo: por que a álgebra é importante em certas situações da vida cotidiana?

Mas também podemos afirmar que a intensidade do campo é diretamente proporcional à magnitude da carga, sendo a constante da proporcionalidade k_e, A constante eletrostática.

Outras proporcionais que também ocorrem na ciência são proporcionalidade exponencial e proporcionalidade logarítmica. No primeiro caso, as variáveis ​​x e y estão relacionadas através de:

y = k.para^x

Onde a é a base, um número positivo de 0, que geralmente é 10 ou o número e. Por exemplo, o crescimento exponencial de bactérias tem esse formulário.

No segundo caso, a relação entre as variáveis ​​é:

y = k.registro_para x

Novamente, a é a base do logaritmo, que é frequentemente 10 (logaritmo decimal) ou E (logaritmo neperiano).

Exercícios

- Exercício 1

Sabendo que no planeta mercúrio um objeto pesa 4 vezes menor que na Terra, quanto um carro 1 em Mercúrio.5 toneladas?

Solução  

Peso do Mercúrio = (1/4) Peso na Terra = (1/4) x 1.5 toneladas = 0.375 tonelada.

- Exercício 2

Para uma festa, alguns amigos decidem preparar suco de concentrado frutado. As instruções de embalagem dizem que 15 copos de suco são feitos de um copo de concentrado. Quanta concentrada é necessária para fazer 110 copos de suco?

Solução

Deixe e a quantidade de suco e x vasos a quantidade de vasos de concentrado. Eles estão relacionados através de:

y = kx

Ao substituir os valores y = 15 e x = 1, a constante k é limpa:

K = y/x = 15/1 = 15

Portanto:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7.33 copos de concentrado de frutas.

Referências

1. Baldor, a. 1974. Álgebra. Cultural venezuelana s.PARA.
2. Giancoli, d.  2006. Física: Princípios com aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
3. Tutors do time do colégio. Relacionamentos de proporcionalidade. Recuperado de: WarsityTorm.com
4. Wikipedia. Proporcionalidade. Recuperado de: é.Wikipedia.org.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.