Regras de derivação (com exemplos)

Quais são as regras de derivação?

As Regras de derrying Eles são o conjunto de indicações a seguir para encontrar o derivado comum de uma função variável real f (x).

O derivado comum da função f (x), indicado como f '(x), é interpretado como a taxa de câmbio instantânea da referida função em relação à variável x. Graficamente, o derivado é a inclinação da linha tangente à curva de f (x), calculada em um determinado ponto cuja coordenada é x_qualquer, como representado na figura abaixo.

O derivado como a inclinação da linha tangente a f (x) em um determinado ponto. Fonte: Wikimedia Anemos/modificada por F. Zapata.

Agora, analiticamente a derivada é calculada através do seguinte limite:

Portanto, toda vez que a derivada de alguma função é necessária, o limite deve ser avaliado conforme indicado. No entanto, existem regras de desarração, que são facilmente memorizadas com um pouco de prática e salvam o trabalho de calcular o limite, que em alguns casos é complicado.

Quais são as regras de derivação?

As regras de derivação mostradas abaixo são facilmente obtidas através da definição de derivada formal.

1. Derivados imediatos

Derivado de uma constante

O derivado de uma constante k é 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Exemplo

f (x) = 5, então f '(5) = 0

Derivado de x

O derivado de f (x) = x é sempre 1, ou seja, é dizer que:

f (x) = x, então f '(x) = 1

2. Função linear derivada

A função linear tem o formulário:

f (x) = ax

Onde A é um número real.

Sua derivada é:

f '(x) = a

• Exemplo

Seja f (x) = 3x, então:

f '(x) = 3

3. Derivado de uma soma

Se f (x) é a soma ou subtração de duas funções u e v, ambas diferenciáveis:

f (x) = u ± v

Então:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Derivado da função relacionada

A função relacionada é a soma de dois termos:

Pode atendê -lo: operações combinadas

f (x) = ax + b

Onde A e B são números reais. Aplicando a soma da soma:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Mas:

(ax) '= a (regra 2)

(b) '= 0 (regra 1)

Portanto:

f '(x) = a

• Exemplo

O derivado de f (x) = −8x + 6 é:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Derivado de um poder

Caso 1

Seja f (x) uma função potencial do formulário f (x) = xⁿ, então:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Exemplo

Quando derivado:

f (x) = x³

Resultado:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Caso 2

Se a função tiver o formulário f (x) = axⁿ, Onde A é um número real, sai da derivada:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Exemplo

Derivar:

f (x) = 4x⁵

Se obtem:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Caso 3

Se o expoente for fracionário, prossegue da mesma maneira que foi explicado nos casos 1 e 2. Isso ocorre quando a variável x é encontrada como um argumento de uma raiz.

• Exemplo

Seja a função:

f (x) = 3x^3/2

A derivada é:

 Se você quiser escrever na forma de raiz:

5. Produto derivado

A regra do produto se aplica às funções em forma de produto entre duas funções U e V, ambas diferenciáveis:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Isto é, o derivado do produto de duas funções é o derivado do primeiro, a cada segundo sem derivar, mais o primeiro sem derivar, multiplicado pelo derivado do segundo.

• Exemplo

Encontre, seguindo a regra do produto e as regras descritas acima, o derivado de:

G (x) = (2x+3) (4x²-1)

A primeira coisa é decidir quem você e V são, lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto, eles podem ser escolhidos dessa maneira:

• U = 2x+3
• V = 4x²-1

Em seguida, a regra do produto é levantada e os derivados indicados são resolvidos, de acordo com as regras descritas acima:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²-1) ''

Pode servir a você: Programação linear: para que serve, modelos, restrições, aplicações

Se tem que:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Substituindo:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

A derivada já está pronta, mas a expressão ainda pode ser fator:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Este resultado também pode ser obtido pela aplicação anteriormente de propriedade distributiva ao produto (2x+3) (4x²-1) e depois usando as regras de 1 a 4. É deixado como exercício para o leitor.

6. Derivado do quociente

Ser uma função da forma:

Com condição v ≠ 0, e que ambos, u e v, são diferenciáveis. Nesse caso, seu derivado é calculado através de:

• Exemplo

Encontre o derivado de:

Para este exemplo, você precisa:

• U = x+1
• v = x²

A proporção da regra quociente leva a:

Para o qual é necessário substituir o seguinte:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²)² = x⁴

E ao substituí -lo é:

Aplicando propriedade distributiva no numerador e redução de termos, a expressão para f '(x) é:

O exercício poderia ter sido resolvido de outra maneira, reescrevendo f (x) como:

f (x) = (x+1) ∙ x x⁻²

E depois aplicando a regra do produto e alguma álgebra. É deixado como exercício para o leitor verificar se é obtido resultado idêntico.

7. a regra da cadeia

Aplica -se a funções compostas, formulário:

f = f (u)

Onde u = g (x)

Sua derivada é realizada da seguinte maneira:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

Um g '(x) é conhecido como o Derivada interna. A aplicação da regra da cadeia é mais fácil do que parece à primeira vista, veja este exemplo:

• Exemplo

Aplicando a regra da cadeia, encontre o derivado de:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Portanto, f (u) = u⁷ E sua derivada, de acordo com a regra 4, é:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Este resultado é salvo e o derivado interno G '(x) é calculado:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Aqui é necessário aplicar as regras sucessivamente: 3 (para a soma/subtração de funções), 4 (para poderes) e 1 (para a derivada de uma constante).

Pode servir a você: teoria da fila: história, modelo, para que serve e exemplos para

Se obtem:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

O último passo é multiplicar os resultados:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

E finalmente reorganize os fatores:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Derivado de funções trigonométricas

Os derivados das funções trigonométricas são:

• Exemplo

Derivar:

H (x) = sin (4x)

Fazendo u = 4x e aplicação da regra da cadeia é obtida:

H '(x) = 4Cos (4x)

9. Derivado de funções trigonométricas inversas

Eles são mostrados na tabela a seguir:

• Exemplo

Derivar:

g (x) = arct tg (-2x)

Sempre tendo em mente a regra da cadeia, u = -2x é feito e a derivada é:

10. Derivado de funções exponenciais e logarítmicas

Função exponencial

Se a base for o número e:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Quando a base é um número A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Função logarítmica

Quando uma função logaritmo neperiana é derivada:

f (x) = ln x

No caso de um logaritmo em outra base:

f (x) = log_para x

• Exemplo

Derivar:

H (x) = x ∙ lnx

onze. Derivado implícito

Eles são usados ​​quando a liberação de y (x) não é imediata, portanto, não há expressão explícita para f (x), como nos casos anteriores. Mesmo assim, é possível encontrar o derivado com o procedimento ilustrado no exemplo a seguir:

• Exemplo

Derivar implicitamente a seguinte expressão para encontrar e ':

4x³+11xy²-2y³ = 0

Como você pode ver, não é fácil encontrar e dependendo do X diretamente; portanto, para encontrar o derivado solicitado, as regras descritas são aplicadas, referindo -se a ambos os lados da igualdade:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (e²) '] - (2y³) '= 0 (regra da soma e regra do produto)

O objetivo é limpar e ', que é o derivado procurado, para o qual a regra da cadeia é aplicada:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²e '= 12x² + 11 + 22xy ∙ e ' - 6y² ∙ e '= 0

e '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0