Fórmula de regra de Simpson, demonstração, exemplos, exercícios

O Regra de Simpson É um método para calcular, aproximadamente, integrais definidos. É baseado na divisão do intervalo de integração em um par de subintervalos igualmente espaçados.

Os valores extremos de dois sub-intervalos consecutivos definem três pontos, o que ajusta uma parábola, cuja equação é um polinômio de segundo grau. 

figura 1. No método Simpson, o intervalo de integração é subdividido em um par de intervalos de igual largura. A função é aproximada por uma parábola em cada 2 sub-intervalos e as abordagens integrais pela soma da área sob as parábolas. Fonte: UPV.é.

Em seguida, a área sob a curva da função nos dois intervalos consecutivos é aproximada pela área polinomial de interpolação. Adicionando a contribuição à área sob a parábola de todos os subintervalos sucessivos, há o valor aproximado da integral.

Por outro lado, como a integral de uma parábola pode ser calculada algebricamente exatamente, é possível encontrar uma fórmula analítica para o valor aproximado da integral definida. É conhecido como o Fórmula Simpson.

O erro do resultado aproximado obtido diminui na medida em que o número de subdivisões n é maior (sendo N a torque) número.

Abaixo, será dada uma expressão que permita estimar o nível superior do erro de abordagem para a integral I, quando uma partição de subintervalos regulares do intervalo total [a, b] foi feita [b].

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Fórmula

O intervalo de integração [a, b] é subdividido em n subintervalas, com N sendo um torque. A largura de cada subdivisão será:

H = (b - a)/n

Dessa forma, no intervalo [a, b] a partição é feita:

X0, x1, x2, ..., xn-1, xn

Sendo x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,…, xn-1 = x0 + (n-1) h, xn = x0 + nh = b.

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A fórmula que permite calcular aproximadamente a função integral e contínua definida e, de preferência, macio, no intervalo [a, b] é:

Demonstração

Para obter a fórmula Simpson, em cada subinterval [xi, xi+2], a função f (x) se aproxima em um segundo grau P (x) polinomial (parábola) que passa pelos três pontos: [xi, f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (F (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f xi)]; [Xi+1, f (xi+1)] e [xi+2, f (xi+2)]].

Então o polinômio integral p (x) é calculado em [xi, xi+2] que se aproxima da integral da função f (x) nesse intervalo.

Figura 2. Gráfico para demonstrar a fórmula Simpson. Fonte: f. Zapata.

Coeficientes polinomiais de interpolação

A equação de parábola P (x) tem a forma geral: p (x) = a x² + B x + c. À medida que a parábola passa pelos pontos indicados em vermelho (veja a figura), os coeficientes a, b, c são determinados a partir do seguinte sistema de equações:

A (-h)² - B h + c = f (xi)

C = f (xi+1)

A (h)² + B h + c = f (xi + 2)

Pode -se observar que o coeficiente C é determinado. Para determinar o coeficiente, adicionamos a primeira e a terceira equação, obtenção:

2 a h² + 2 c = f (xi) + f (xi + 2).

Então o valor de C é substituído e está claro:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

Para determinar o coeficiente B, a terceira equação do primeiro é subtraída e B se limpa:

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h.

Em resumo, o segundo grau Polinomial P (x) que passa pelos pontos Qi, Qi+1 e Qi+2 tem coeficientes:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h

C = f (xi+1)

Cálculo da integral aproximada em [xi, xi+2]

Cálculo aproximado da integral em [a, b]

Como já foi dito, no intervalo total de integração [a, b] uma partição x0, x1, x2,…, xn -1, xn com a etapa h = xi+1 - xi = (b - (b -) / n, onde n é um casal.

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Então a integral definida no intervalo total [a, b] é a soma das integrais nos subintervalos [xi, xi+2], que são abordados pelas integrais dos polinômios de interpolação p (x):

Na seção anterior, a fórmula para integrais polinomiais nos subintervalos foi encontrada. Aplicando este resultado a cada integral tem:

Que pode ser reescrito de uma maneira mais compacta da seguinte maneira:

Erro de aproximação

Se a função à qual você deseja se integrar ao intervalo [a, b] derivou a quarta ordem, contínua nesse intervalo, é possível encontrar uma fórmula que permita determinar o nível máximo de erro na abordagem por meio do Fórmula SNPSON SN Para o valor da integral:

Observe que o erro diminui com a quarta potência do número de subdivisões de intervalo. Por exemplo, se você passar de n subdivisões para 2n, o erro diminui em um fator 1/16.

O nível de erro superior obtido pela abordagem Simpson pode ser obtido a partir dessa mesma fórmula, substituindo o quarto derivado pelo valor absoluto máximo da quarta derivada no intervalo [a, b].

Exemplos resolvidos

- Exemplo 1

Considere a função f (x) = 1 / (1 + x²). 

Encontre a integral definida da função f (x) no intervalo [-1, 1] usando o método Simpson com duas subdivisões (n = 2).

Solução 

É tomado n = 2. Os limites de integração são A = -1 e B = -2, então a partição é assim: 

X0 = -1; X1 = 0 e x2 = +1.

Portanto, a fórmula de Simpson adota o seguinte:

Com n = 2 → Xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, portanto:

- Exemplo 2

Considere a função f (x) = 1 / (1 + x²). 

Encontre a integral definida da função f (x) no intervalo [-1, 1] pela fórmula Simpson com quatro subdivisões (n = 4).

Pode atendê -lo: estimativa por intervalos

Solução 

É tomado n = 4. Os limites de integração são A = -1 e B = -2, então a partição é assim: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 e x4 = +1.

A fórmula de Simpson é estabelecida da seguinte maneira:

Integral ≃ [(b -a)/(3 n)] [f (x0) + 4 i + 2 p + f (xn)]

Para o caso em que está sendo aplicado, é o seguinte:

Integral ≃ (1- (1))/(3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)

Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1.5666

- Exemplo 3

Determine exatamente a integral definida dos exemplos anteriores e faça uma comparação do resultado exato com os obtidos pela fórmula Simpson nos Exemplos 1a e 1b.

Solução 

A integral indefinida da função f (x) = 1 / (1 + x²) é a função Arctan (x).

Ao avaliar os limites de integração:

Integral = arctan (1) - arctan (-1) = π/4 - (-π/4) = π/2 = 1.5708

Se compararmos o resultado da solução exata com a obtida pelo método Simpson com n = 2 e n = 4, temos:

Para n = 2, a diferença entre a solução exata e a aproximação é π/2 -5/3 = -0959, ou seja, uma diferença percentual de -0,06%.

E para a abordagem Simpson com n = 4, a diferença entre a solução exata e a aproximação é π/2 - 47/30 = 0,0041, ou seja, uma diferença percentual de 0,003%.

Exercício proposto

O método de Simpson é adequado para ser aplicado em linguagens de programação e aplicativos de computador destinados a cálculos matemáticos. É proposto ao leitor que, com base nas fórmulas fornecidas neste artigo, escreva seu próprio código em seu programa favorito.

A figura a seguir mostra um exercício no qual a fórmula Simpson foi implementada em Smath Studio, Software gratuito disponível para sistemas operacionais janelas e Android.

Figura 3. Exemplo de integração numérica através da regra Simpson usando o software. Fonte: f. Zapata.

Referências

1. Casteleiro, J. M. 2002. Cálculo abrangente (edição ilustrada). Madri: editorial ESIC.
2. UPV. Método Simpson. Universidade politécnica de Valência. Recuperado de: youtube.com
3. Purcell, e. 2007. Cálculo da nona edição. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Regra de Simpson. Recuperado de: é.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolação polinomial de Lagrange. Recuperado de: é.Wikipedia.com