O que são vetores coplanares? (Com exercícios resolvidos)

O Vetores coplanares o coplanarios são aqueles que estão contidos no mesmo avião. Quando você tem apenas dois vetores, estes são sempre dísticos.

Se você tem três ou mais vetores, pode ser que qualquer um deles não esteja no mesmo plano que outros, portanto eles não poderiam ser considerados coplanares. A figura a seguir mostra um conjunto de coplanares indicados em vetores ousados PARA, B, C e D:

figura 1. Quatro coplanares. Fonte: Self feito.

Os vetores estão relacionados ao comportamento e propriedades das magnitudes físicas relevantes em ciências e engenharia; Por exemplo, velocidade, aceleração e força.

Uma força produz efeitos diferentes em um objeto quando a maneira como é aplicada é variada, por exemplo, alterando a intensidade, direção e significado. Ainda mudando um desses parâmetros, os resultados são consideravelmente diferentes.

Em muitas aplicações, tanto na estática quanto na dinâmica, as forças que agem em um corpo estão no mesmo plano, portanto são consideradas coplanares.

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Condições para os vetores serem coplanares

Para que três vetores sejam coplanares, eles devem estar no mesmo plano e isso acontecerá se atenderem às seguintes condições:

-Os vetores são paralelos, portanto, seus componentes são proporcionais e são linearmente dependentes.

-Seu produto misto é nulo.

-Se você tem três vetores e algum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois, esses vetores são coplanares. Por exemplo, um vetor que resulta da soma de outros dois, os três estão todos no mesmo plano.

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Como alternativa, a condição de coplanaridade pode ser estabelecida da seguinte forma:

U v w Eles são coplanares se houver três números (escalares) α, β, γ, de modo que αou + βv + γW = 0 Com (α, β, γ) diferente de (0, 0, 0)

Produto misto entre três vetores

O produto misto entre vetores é definido com três vetores ou, v e C, resultando em um escalar que resulta da execução da seguinte operação:

ou · (v x C) = ou · (v x C)

Primeiro, o produto cruzado que está entre parênteses é feito: v x C, cujo resultado é um vetor normal (perpendicular) para o plano em que eles são tão v como C.

Sim ou está no mesmo avião que v e C, Naturalmente, o produto escalar (produto Point) entre u e o referido vetor normal deve ser 0. Dessa maneira, é verificado que os três vetores são coplanares (eles estão no mesmo avião).

Quando o produto misto não é nulo, seu resultado é igual ao volume do paralelepípedo que tem os vetores ou, v e C como lados adjacentes.

Formulários

Coplanares, forças simultâneas e não colineas

As forças simultâneo Todos eles são aplicados no mesmo ponto. Se eles também são coplanares, eles podem ser substituídos por apenas um, o que é chamado força resultante E tem o mesmo efeito que o das forças originais.

Se um corpo está em equilíbrio graças a três coplanares, forças simultâneas e não colineas (não paralelas), chamadas PARA, B e C, ele Teorema de Lamy Ele ressalta que a relação entre essas forças (magnitudes) é a seguinte:

A / sin α = b / sen β = c / sen γ

Com α, β e γ como os ângulos opostos às forças aplicadas, como mostrado na figura a seguir:

Figura 2. Três forças A, B e C coplanares agem em um objeto. Fonte: Kiwakwok na Wikipedia inglesa [domínio público]

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontre o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:

Pode atendê -lo: Carnot Machine

ou =

v =

C =

Solução

Como os componentes dos vetores são obtidos, os critérios do produto misto são usados, portanto:

ou · (v x C) = 0

Está resolvido primeiro v x C. Os vetores serão expressos em termos de vetores da unidade Yo, J e k que distinguem as três direções perpendiculares no espaço (larga, alta e profundidade):

v= 4 Yo + J + 0 k

C= -1 Yo + 2J -1 k

v x W = -4 (i x i) + 8 (I X J) - 4 (i x k) - (J X i) + 2 (J x J) - 2 (J x k) = 8 k + 4 J + k -2 i = -2 Yo + 4 J + 9 k

O produto escalar agora é proposto entre u e o vetor que possui resultados da operação anterior, correspondendo a operação para 0:

ou · (v x C) = (-3 Yo + k J + 2 k) · (-2 Yo + 4 J + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

O valor procurado é: k = - 6

Para que o vetor ou é:

ou =

-Exercício 2

A figura mostra um objeto cujo peso é w = 600 n, pendurado em equilíbrio graças aos cabos colocados de acordo com os ângulos mostrados na Figura 3. É possível aplicar o teorema de Lamy nesta situação? De qualquer forma, encontre as magnitudes de T₁, T₂ e T₃ que tornam possível o equilíbrio.

Figura 3. Um peso está em equilíbrio sob a ação das três tensões mostradas. Fonte: Self feito.

Solução

O teorema de Lamy é aplicável nessa situação se o nó no qual as três tensões são aplicadas forem consideradas, pois constituem um sistema de forças coplanares. Primeiro, o diagrama do corpo livre é feito para o peso pendente, a fim de determinar a magnitude de t_3:

Figura 4. Diagrama do corpo livre para o peso pendurado. Fonte: Self feito.

A partir da condição de equilíbrio, segue -se que:

Pode servir a você: Difração do som: o que é, exemplos, aplicações

T₃  = W = 600 n

Os ângulos entre as forças são marcados em vermelho na figura a seguir, pode -se verificar facilmente que sua soma é 360 °. Agora é possível aplicar o teorema de Lamy, já que uma das forças e os três ângulos entre eles é conhecida:

Figura 5.- Em vermelho os ângulos para aplicar o teorema de Lamy. Fonte: Self feito.

T₁ / Sen 127º = w / sen 106º

Portanto: t₁ = sen 127º (w /sen 106º) = 498.5 n

Novamente o teorema de Lamy é aplicado para limpar t₂:

T₂ / sin 127 = t₁ / Sen 127º

T₂ = T₁ = 498.5 n

Referências

1. Figueroa, d. Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
2. Físico. Módulo 8: vetores. Recuperado de: FRTL.Utn.Edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mecânica para engenheiros. Estático. 6ª edição. Empresa editorial continental.28-66.
4. McLean, w. Série Schaum. Mecânica para engenheiros: estático e dinâmico. 3ª edição. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vetor. Recuperado de: é.Wikipedia.org.