O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

É conhecido como números triangulares à sequência de números que são obtidos ao fazer um arranjo ou figura de pontos de triângulo equiláteis. A primeira da sequência é: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..

A primeira questão triangular é 1, a segunda é a 3, porque é obtida com a adição de uma linha de dois pontos ao anterior, para formar um triângulo equilátero de três elementos.

figura 1. Sequência dos seis primeiros números triangulares. Fonte: Wikimedia Commons. Melchoir/CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/3.0)

O terceiro é 6, que aparece ao adicionar uma linha de três pontos ao arranjo anterior, para que um triângulo de três pontos seja formado por lado. O 10 da sequência é obtido adicionando outra linha ao arranjo anterior, para que um triângulo de quatro pontos seja formado por lado.

A fórmula que permite encontrar o elemento n A partir da sequência triangular, conhecido o número triangular anterior é:

T_n = T_N-1 + n

A lista dos seis primeiros números triangulares é alcançada assim:

-Primeiro: 1

-Segundo: 1 + 2 = 3

-Terceiro: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Sala: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Quinto: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Sexto: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

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Propriedades de números triangulares

1.- O número triangular N-SIMO TN da sequência de números triangulares é metade de n multiplicado por n+1:

T_n = ½ n (n+1)

2.- A soma do número triangular n-ésimo com o número triangular anterior, ou seja, (n-1) -Sheimo, é quadrado elevado:

T_n + T_N-1= n²

3.- A diferença no número triangular n-isto menos o n-ésimo triangular menos é n:

T_n - T_N-1 = n

4.- A soma dos primeiros números triangulares é chamada de número tetraédrica Sn e é igual à sexta parte do produto multiplicada por (n + 1) e multiplicada por (n + 2):

Pode atendê -lo: Tributação

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Cada número natural n é o resultado da soma de três números triangulares:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Esta última propriedade ou teorema foi descoberta pelo grande matemático Carl Friedrich Gauss em 1796, que ele marcou em seu diário colocando a admiração grega Eureka! que significa "Consegui".

Essa foi a mesma palavra usada muito antes pelos arquimedes gregos quando ele determinou o peso aparente de um corpo submerso.

Nesse relacionamento, o número zero é considerado triangular e pode haver repetição.

Demonstrações

- Demonstração 1

Provar que o número triangular n-Isso é:

T_n = ½ n (n+1)

É fácil deduzir a fórmula anterior, se percebermos que podemos adicionar o mesmo número de pontos ao arranjo triangular para formar um quadrilateral de pontos.

Como o número total de pontos de arranjo na forma de um quadrilateral é o número de linhas n multiplicado pelo número de colunas (N+1), Então o arranjo triangular terá apenas metade dos pontos do arranjo na forma de um quadrilateral.

Aqui está ilustrado na Figura 2.

Figura 2. Arranjo quadrado em forma de forma em que o número total de pontos é o número de linhas n multiplicadas pelo número de colunas n+1. O número total de pontos também é o dobro do arranjo triangular. Fonte: Wikimedia Commons.

- Demonstração 2

Demonstrar que a soma de n-Este número triangular com o n-Quanto menos um Número triangular é n quadrado:

T_n + T_N-1= n²

Já foi demonstrado que o número triangular n-Isso é dado por:

T_n= ½ n (n+1)

Portanto, o número triangular anterior é:

T_N-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n-1)

A soma de ambos os restos:

T_n + T_N-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

½ n é levado para obter:

T_n + T_N-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1) = ½ n [n + 1 + n - 1]

E imediatamente a expressão é simplificada dentro do suporte:

Pode atendê -lo: estimativa por intervalos

T_n + T_N-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Agora, lembrando que ½ para 2 é 1 e que n para n é n quadrado, você tem:

T_n + T_N-1 = n²

Esta propriedade também pode ser demonstrada geométrica, o triângulo é simplesmente concluído para formar um quadrado, como mostrado na Figura 3.

Figura 3. A soma do número triangular n-simo com o número triangular anterior é igual a n quadrado. Fonte: Wikimedia Commons.

- Demonstração 3

A diferença no número triangular de ordem n menos o número triangular de ordem N-1 é n:

T_n - T_N-1 = n

Isso pode ser testado simplesmente lembrando que o seguinte número triangular é obtido do anterior através da fórmula:

T_n = T_N-1 + n

E a partir daí é evidente que T_n - T_N-1 = n. Também é fácil visualizá -lo graficamente, como mostrado na Figura 4.

Figura 4. A diferença do número triangular de ordem n menos o triangular anterior da ordem n-1 é n. Fonte: Wikimedia Commons.

- Demonstração 5

A soma dos primeiros números t triangularesn É igual à sexta parte do produto multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Vamos usar o número triangular de ordem n: T_n= ½ n (n+1). A soma do primeiro n Números triangulares denotarão para S_n  

Por exemplo, S₁ significa a soma da primeira questão triangular, que sem dúvida será 1.

Então vamos ver se a fórmula que tentamos tentar é cumprida com n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

De fato, a fórmula para n = 1 é verificada. É fácil visualizar que a soma de N+1 primeiro números triangulares será a soma dos primeiros n mais o próximo número triangular:

S_N+1 = S_n + T_N+1

Agora suponha que a fórmula de S_n É cumprido para n, então o substituímos na expressão anterior e adicionamos o número triangular de ordem N+1:

S_N+1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]]

Pode servir a você: linha perpendicular: características, exemplos, exercícios

Vamos olhar passo a passo o que é obtido:

-Realizamos a soma das duas expressões fracionárias:

S_N+1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] /12 

-É removido do numerador comum para 2 (n + 1) (n + 2) e simplifica:

S_N+1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

O resultado anterior concorda com a fórmula Sn Se n+1 for substituído, que foi demonstrado pela indução a fórmula da soma dos primeiros termos triangulares.

Número tetraédrico

O resultado obtido é chamado Número tetraédrico de ordem n, Porque é como acumular camadas triangulares que formam um tetraedro, como mostrado na seguinte animação.

Figura 5. A soma dos números triangulares N corresponde à pilha de camadas de n, n-1, ..., 1 triângulos que formam um tetraedro regular. Fonte: Wikimedia Commons.

Referências

1. Camacho J. Uma aparência não suspeitada de números triangulares. Recuperado de: Masscience.com
2. Claudio. Números triangulares. Recuperado de: simplesmente números. Blogspot. com
3. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: é.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: em.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Número Tretraedral. Recuperado de: em.Wikipedia.com