Probabilidade teórica de como divulgá -lo, exemplos, exercícios

O Probabilidade teórica (ou de Laplace) que ocorre um evento que pertence a um espaço de amostra, no qual todos os eventos têm a mesma probabilidade de ocorrência, é definido na notação matemática como: p (e) = n (e) / n ( S)

Onde p (e) é a probabilidade, dada como a razão entre o número total de resultados possíveis do evento E, que chamamos de n (e), dividido pelo número total n (s) dos possíveis resultados no espaço da amostra s.

figura 1. No lançamento de um dado de seis, a probabilidade teórica de que o rosto com três pontos esteja no topo seja ⅙. Fonte: Pixabay.

A probabilidade teórica é um número real entre 0 e 1, mas é frequentemente expresso na forma de uma porcentagem; nesse caso, a probabilidade será um valor entre 0% e 100%.

Calcular a probabilidade de ocorrência de um evento é muito importante em muitos campos, como atividade do mercado de ações, companhias de seguros, jogos de azar e muito mais.

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Como obter a probabilidade teórica?

Um caso ilustrativo é o caso de rifas ou loterias. Suponha que 1.000 ingressos para rifar um smartphone. Como o sorteio é feito aleatoriamente, qualquer um dos ingressos tem a mesma chance de ser um vencedor. 

Para encontrar a probabilidade de que uma pessoa que compra um ingresso com o número 81 seja vencedor, o seguinte cálculo de Probabilidade teórica:

P (1) = 1/1.000 = 0,001 = 0,1%

O resultado anterior é interpretado da seguinte forma: se o sorteio for repetido infinitamente, cada 1.000 vezes o ingresso 81 seria selecionado, em média, uma vez.

Se, por qualquer motivo. A probabilidade de ganhar o prêmio se você tiver todos os ingressos calculados da seguinte forma:

Pode servir a você: perímetro do círculo: como retirá -lo e fórmulas, exercícios resolvidos

P (1.000) = 1.000/1.000 = 1 = 100%.

Isto é, o que a probabilidade 1 ou 100% significa que está totalmente certo de que esse resultado ocorrerá.

Se alguém possui 500 ingressos, as possibilidades de ganhar ou perder são as mesmas. A probabilidade teórica de ganhar o prêmio neste caso é calculada da seguinte forma:

P (500) = 500/1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Aquele que não compra nenhum ingresso não tem chance de ganhar e sua probabilidade teórica é determinada assim:

 P (0) = 0/1.000 = 0 = 0%

Exemplos

Exemplo 1

Você tem uma moeda com caro de um lado e escudo ou selar no outro. Quando a moeda é lançada, qual é a probabilidade teórica de ser caro?

P (caro) = n (caro) / N ( face + escudo ) = ½ = 0,5 = 50%

O resultado é interpretado da seguinte.

Em termos percentuais, a interpretação do resultado é que fazer um número infinitamente grande de lançamentos, em média, cada 100 deles resultaria em caro.

Exemplo 2

Em uma caixa, existem 3 bolinhas azuis, 2 bolinhas vermelhas e 1 verde. Qual é a probabilidade teórica de que, quando você pega um mármore da caixa, isso é vermelho?

Figura 2. Probabilidade de extração de bolinhas de cor. Fonte: f. Zapata.

A probabilidade que vem vermelha é:

P (vermelho) = número de casos favoráveis ​​/ número de casos possíveis

Quer dizer:

P (vermelho) = número de bolinhas vermelhas / número total de bolinhas de gude

Finalmente, a probabilidade de um mármore vermelho ser:

P (vermelho) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Enquanto a probabilidade de extrair um mármore verde é:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Finalmente, a probabilidade teórica de obter uma extração cega Um mármore azul é: 

P (azul) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Pode atendê -lo: propriedades radicais

Ou seja, de cada 2 tentativas, o resultado será azul em uma delas e outra cor em outra tentativa, sob a premissa de que o mármore extraído é reabastecido e que o número de ensaios é muito, muito grande.

Exercícios

Exercício 1

Determinar a probabilidade de que, ao lançar um valor, um valor seja obtido menor ou igual a 4.

Solução

Para calcular a probabilidade de que este evento ocorra, a definição de probabilidade teórica será aplicada:

P (≤4) = número de casos favoráveis ​​/ número de casos possíveis

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Exercício 2

Encontre a probabilidade de que, em dois arremessos consecutivos de um dado normal de seis, 2 vezes 2 vezes.

Solução

Para responder a este exercício, é conveniente fazer uma imagem para mostrar todas as possibilidades. A primeira figura indica o resultado dos primeiros dados e o segundo o resultado do outro.

Para calcular a probabilidade teórica, precisamos conhecer o número total de casos possíveis, neste caso, como pode ser visto na tabela anterior, existem 36 possibilidades.

Observar também a pintura segue que o número de casos favoráveis ​​ao evento que nos dois lançamentos consecutivos vem 5 é apenas 1, destacado com cores, portanto, a probabilidade de que este evento aconteça é:

P (5 x 5) = 1/33.

Esse resultado também poderia ter sido alcançado usando uma das propriedades da probabilidade teórica, que afirma que a probabilidade combinada de dois eventos independentes é o produto de suas probabilidades individuais.

Nesse caso, a probabilidade de que na primeira versão 5 seja ⅙. O segundo lançamento é completamente independente do primeiro, portanto a probabilidade de que 5 no segundo também seja ⅙. Portanto, a probabilidade combinada é:

Pode atendê -lo: derivados parciais: propriedades, cálculo, exercícios

P (5 × 5) = p (5) p (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Exercício 3

Encontre a probabilidade de que um número menor de 2 seja lançado no primeiro lançamento e no segundo um número maior que 2 sai. 

Solução

Novamente, você deve construir uma possível tabela de eventos, onde aqueles em que o primeiro lançamento foi inferior a 2 e no segundo superior a 2 estão sublinhados.

No total, existem 4 possibilidades de um total de 36. Em outras palavras, a probabilidade deste evento é:

P (2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Usando o teorema das probabilidades que afirma:

A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é igual ao produto de probabilidades individuais.

É obtido resultado idêntico:

P (2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

O valor obtido com este procedimento coincide com o resultado anterior, através da definição teórica ou clássica de probabilidade.

Exercício 4

Qual é a probabilidade de que, ao lançar dois, dada a soma dos valores, 7.

Solução

Para encontrar a solução neste caso, uma imagem de possibilidades foi desenvolvida em que os casos que atendem à condição dos valores são 7 foram indicados em cor.

Olhando para a mesa, 6 casos possíveis podem ser contados, então a probabilidade é:

P (R&D II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referências

1. Canavos, g. 1988. Probabilidade e estatística: aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. DeVore, j. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8º. Edição. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Série Schaum: Probabilidade. McGraw Hill.
4. Obregón, i. 1989.Teoria da probabilidade. Limusa editorial.
5. Walpole, r. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. Pearson.