Conceito de números negativos, exemplos, operações

O números negativos Eles são os que à esquerda da linha numérica, sempre precedidos por um sinal -. Através de negativos, é possível representar quantidades abaixo ou à esquerda de 0.

Esses números participam ativamente da vida cotidiana: por exemplo, se alguém tiver uma dívida de US $ 5, mas só pode pagar US $ 3, deve US $ 2. A dívida é indicada com um sinal negativo para distingui -lo da soma paga.

figura 1. Esquema de números negativos e positivos

Posições baixas do nível do mar, temperaturas abaixo do ponto de congelamento da água e pisos inferiores ao nível da rua podem ser denotados por números negativos.

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Quais são os números negativos para?

A existência dos negativos estende as possíveis operações numéricas. Vamos dar o exemplo da subtração de dois números. Se esses números pertencem aos nativos 1, 2, 3, 4, 5 ... a subtração só faz sentido se for feito subtraindo outro número menor que ele.

O resultado da operação 10 - 7 = 3 é razoável, pois, em princípio, não podemos tirar mais uma quantia do que representa.

No entanto, com os negativos, essa outra situação seria bem descrita: queremos comprar algo que vale US $ 20, mas só temos US $ 15 e solicitamos US $ 5 a um amigo. A dívida, como dissemos, é marcada com um sinal negativo e, portanto, 15 - 20 = -5, que é lido como "menos 5".

O conjunto de números inteiros negativos vinculados ao dos nativos e 0, compõem o conjunto mais amplo de números inteiros z.

Mas os negativos também podem ser fracionários ou decimais e pertencer a um conjunto ainda mais amplo: o de números R reais, que inclui racional e irracional.

Com todos eles, são realizadas operações aritméticas conhecidas, cuidando da operação seguindo regras simples de sinais que são explicados abaixo.

Operações com números negativos

Antes de executar operações com números negativos, você deve estabelecer algumas regras simples para lidar com o sinal (-) que sempre deve ser colocado antes e a ordem dos números.

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Considere a linha numérica mostrada na figura, com os negativos à esquerda de 0 e os positivos à direita.

Figura 2. A linha numérica com os negativos em vermelho. Fonte: Wikimedia Commons.

As setas da linha numérica em ambas as direções indicam que existem números infinitos. Observe também que o conjunto numérico de inteiros é um conjunto ordenado e qualquer número negativo é menor que 0 e que qualquer positivo.

Assim, -4 é menor que 1 e -540 é menor que 84, por exemplo.

Valor absoluto

A distância entre qualquer número e 0 é chamada valor absoluto. Essa distância é sempre positiva e denota por barras verticais, dessa maneira:

│-5│ = 5

│+√6│ = √6

│-3/4│ = 3/4

│-10.2│ = 10.2

Isto é, o valor absoluto de qualquer número, positivo ou negativo é o número positivo do número. Este conceito nos servirá mais tarde ao operar com números negativos.

Sinal

Outro detalhe muito importante é a distinção entre o sinal do número e o sinal da operação.

Quando um número é positivo, o número do número geralmente é omitido e entende -se que é positivo de qualquer maneira, mas com os negativos que não são possíveis; portanto, é necessário usar parênteses, vamos ver:

-Correto: 17 - (-6) ou também +17 - (-6)

-Incorreto: 17 - -6

-Incorreto: -5 + +7

-Correto: - 5 + (+7) ou também -5 + 7

Uma vez que os conceitos de valor absoluto, ordem e importância do sinal negativo estiverem claros, podemos passar para as operações elementares.

Adição

Distinguimos os seguintes casos, começando com a soma de dois pontos positivos, cujo procedimento já está muito familiarizado:

-Adicione dois números positivos: ( + a) + ( + b) = a + b

O que significa que acrescentamos como de costume, vamos ver:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

-Adicione dois números negativos: (-a) + (-b) =-(a + b)

Nesse caso, adicionamos os valores absolutos dos números e, com o resultado, um sinal negativo é colocado antes, assim:

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(-7) + (-11) = - (7+ 11) = - 18

-Adicione um negativo e um positivo: ( + a) + (-b)

Para esta operação, os valores absolutos são subtraídos e o resultado carrega o sinal do número com o maior valor absoluto. Vamos fazer alguns casos:

a) (-16) + (+3)

Os respectivos valores absolutos são 16 e 3, o número com o maior valor absoluto é 16, cujo sinal é negativo, então:

(-16) + (+3) = - (16 - 3) = -13

b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

A soma dos negativos também é comutativa, o que significa que a ordem nos anúncios não é importante para o resultado.

As regras anteriores se aplicam se você deseja adicionar mais de dois números, o que pode ser feito com a propriedade associativa: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Antes de ver um exemplo neste caso, vamos ver a subtração de dois números inteiros primeiro.

Subtração

A subtração é definida como a soma do oposto. O oposto de um número A é -a, como este:

-4 é o oposto de + 4

½ é o oposto de -½

Se eles nos pedirem para realizar a subtração de dois números, independentemente do sinal, simplesmente adicionamos o oposto do segundo:

a) (-53) -(+8) = (-53)+( -8) = -(53+8) = -61

b) (+7) - (-12) = (+7)+(+12) = 7+12 = 19

c) (+2) - (+π) = (+2)+( - π) = 2 - π

Exemplo

Execute a seguinte operação (+4) + (-7) + (+19)

Nós o reescrevemos assim com a ajuda de colchetes para indicar a operação a ser executada primeiro:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [-(4 -7)] + 19 = [-(-3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22

Multiplicação

A regra de sinais para multiplicação está resumida na figura a seguir:

Figura 3. Regra de sinais para multiplicação. Fonte: f. Zapata.

Propriedades de multiplicação

-Comutividade: A ordem dos fatores não altera o produto, portanto ≠ = b.Onde A e B são negativos, números inteiros ou fracionários.

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-Associatividade: Deixe A, B e C números inteiros, é cumprido que (um.b). C = a. (b.c)

-Distributividade em relação à soma: Deixe A, B e C números inteiros, é válido que. (B+C) = A.b +a.c

Exemplo

(-3/2) x [(-5) + (+4)-( + 2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6)/2 = 9/2

A operação entre colchetes também poderia ter sido resolvida e o resultado multiplicado por (-3/2), como este:

(-3/2) x [-5 + 4-2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Divisão

A regra de sinais para a divisão é exposta na figura a seguir:

Figura 4. Regra de sinais para a divisão. Fonte: f. Zapata.

A divisão não é comutativa e geralmente em ÷ b ≠ B ÷ A, não sendo permitido a divisão entre 0. Vejamos um exemplo:

(-54) ÷ (+3) = -18

Para obter esse resultado, o quociente é simplesmente feito e o sinal é escolhido de acordo com a tabela mostrada na figura, que corresponde à terceira opção para baixo.

Potenciação

Potenciação é a operação do formulário paraⁿ, Onde está a base e n é o expoente. A base e o expoente podem ter qualquer sinal.

-Se a base for negativa ou positiva e o expoente é inteiro, o resultado da operação é sempre positivo.

-Quando a base é positiva e o expoente é inteiramente o resultado é positivo.

-E se a base for negativa e o expoente é estranho, o resultado é negativo.

Os expoentes fracionários serão expressos alternadamente como raiz, por exemplo, uma raiz quadrada equivalente ao expoente fracionário ½, uma raiz cúbica é igual ao expoente 1/3 e assim por diante.

Vejamos alguns exemplos:

a) (-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 ^-1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) ^1/3 = raiz cúbica de 8 = 2

Referências

1. Baldor, a. 1986. Aritmética. Edições e distribuições Codex.
2. Figuera, j. 2000. Matemática 7th. Grau. Edições Co-Bo.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. A matemática é divertida. Como adicionar e subtrair números positivos e negativos. Recuperado de: Mathisfun.com
5. Wikipedia. Números negativos. Recuperado de: é.Wikipedia.org.