Método Axiomático

Qual é o método axiomático?

Ele Método Axiomático É um procedimento formal usado pela ciência através do qual declarações ou proposições chamadas axiomas são formuladas, conectadas entre si por uma relação de dedutibilidade e que são a base das hipóteses ou condições de um determinado sistema.

Esta definição geral deve ser enquadrada na evolução que essa metodologia teve ao longo da história. Primeiro, há um método antigo ou de conteúdo, nascido na Grécia antiga de Euclides e depois desenvolvido, por Aristóteles.

Segundo, já no século XIX, a aparência de uma geometria com axiomas que não sejam os de Euclides. E, finalmente, o método axiomático formal ou moderno, cujo expoente máximo era David Hilbert.

Além de seu desenvolvimento ao longo do tempo, esse procedimento tem sido a base do método dedutivo usando a geometria e a lógica onde se originou. Também tem sido usado em física, química e biologia.

E até aplicado nas ciências jurídicas, sociologia e economia política. No entanto, atualmente sua esfera de aplicação mais importante é a matemática e a lógica simbólica e alguns ramos da física, como termodinâmica, mecânica, entre outras disciplinas.

Características do método axiomático

Embora a característica fundamental desse método seja a formulação de axiomas, eles nem sempre foram considerados da mesma maneira.

Há alguns que podem ser definidos e construir arbitrários. E outros, de acordo com um modelo no qual sua verdade intuitivamente garantida é considerada.

Para entender especificamente o que essa diferença e suas conseqüências consiste, é necessário viajar a evolução deste método.

Método axiomático antigo ou conteúdo 

Está estabelecido na Grécia antiga em direção ao século V.C. Sua esfera de aplicação é geometria. O trabalho fundamental deste estágio é os elementos da Euclides, embora se considere que diante dele, Pitágoras, já havia dado à luz o método axiomático.

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Assim, os gregos tomam certos fatos como axiomas, sem nenhuma evidência lógica necessária, isto é, sem a necessidade de demonstração, pois para eles eles são uma verdade evidente por si só.

Por sua parte, Euclides apresenta cinco axiomas para geometria:

1. Catch dois pontos, há uma linha que os contém ou os une.
2. Qualquer segmento pode ser estendido continuamente em uma linha ilimitada de ambos os lados.
3. Você pode desenhar uma circunferência que tenha um centro em qualquer lugar e qualquer raio.
4. Ângulos retos são todos iguais.
5. Tomando qualquer linha reta e qualquer ponto que não esteja nela, há uma linha reta paralela a isso e que contém até aquele momento. Este axioma é conhecido, mais tarde, como o axioma dos paralelos e também foi declarado como: por um ponto externo para uma linha, você pode desenhar um único paralelo.

No entanto, os matemáticos euclides e posteriores concordam que o quinto axioma não é tão claro intuitivamente quanto o outro 4. Mesmo durante o Renascimento, ele tenta deduzir o quinto dos outros 4, mas não é possível.

Isso causou que, no século XIX, que mantinham os cinco apoiadores da geometria euclidiana e aqueles que negaram o quinto, foram os que criaram as geometrias não -uuclidianas.

Axiomático não -euuclidiano

Eles são precisamente Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss, que vêem a possibilidade de construir, sem contradição, uma geometria que vem de sistemas de axiom que não os de Euclides. Isso destrói a crença na verdade absoluta ou priori dos axiomas e as teorias que derivam delas.

Portanto, os axiomas começam a ser concebidos como pontos de partida de uma teoria específica. Além disso, tanto a sua escolha quanto o problema de sua validade de uma maneira ou de outra, começam a se relacionar com fatos fora da teoria axiomática.

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Dessa forma, aparecem teorias geométricas, algébricas e aritméticas construídas através do método axiomático.

Este estágio culmina com a criação de sistemas axiomáticos para aritmética como Giuseppe Peano em 1891; Geometria de David Hubert em 1899; Alfred North Whitehead e as declarações predicadas de Bertrand Russell na Inglaterra em 1910; A teoria axiomática de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo sets em 1908.

Método axiomático moderno ou formal

É David Hubert quem começa a concepção de um método axiomático formal e que leva ao seu culminar, David Hilbert.

É precisamente Hilbert que formaliza a linguagem científica, considerando suas declarações como sequências de fórmulas ou sinais que não têm significado em si mesmas. Eles só adquirem significado em uma certa interpretação.

Em "Os fundamentos da geometria”Explique o primeiro exemplo desta metodologia. A partir daqui, a geometria se torna uma ciência de consequências lógicas puras, que são extraídas de um sistema de hipótese ou axiomas, melhor articulado do que o sistema euclidiano.

Isso ocorre porque no antigo sistema a teoria axiomática é baseada na evidência de axiomas. Enquanto isso, no fundamento da teoria formal, é dada pela demonstração da não -contradição de seus axiomas.

Etapas do método axiomático

O procedimento que realiza uma estruturação axiomática dentro das teorias científicas reconhece:

• A escolha de uma certa quantidade de axiomas, ou seja, várias proposições de uma certa teoria que são aceitas sem serem demonstradas.
• B-Os conceitos que fazem parte dessas proposições não são determinados dentro da estrutura da teoria dada.
• C.
• D.

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Exemplos

Este método pode ser verificado através da demonstração dos dois teoremas de euclides mais conhecidos: o teorema da categoria e a altura.

Ambos surgem da observação deste geômetro grego de que, quando a altura é desenhada em relação à hipotenusa dentro de um triângulo retângulo, mais dois triângulos do original aparecem. Esses triângulos são semelhantes um ao outro e, ao mesmo tempo, semelhantes com o triângulo de origem. Isso significa que seus respectivos homólogos são proporcionais.

Pode -se observar que os ângulos congruentes nos triângulos dessa maneira verificam a semelhança que existe entre os três triângulos envolvidos de acordo com os critérios de similaridade AAA. Este critério argumenta que quando dois triângulos têm todos os seus ângulos iguais são semelhantes.

Uma vez demonstrado que os triângulos são semelhantes, as proporções especificadas no primeiro teorema podem ser estabelecidas. O mesmo afirma que em um triângulo retângulo, a medida de cada cateto é um proporcional geométrico médio entre a hipotenusa e a projeção do cateto nele.

O segundo teorema é a altura. Ele especifica que qualquer triângulo retângulo a altura desenhada de acordo com a hipotenusa é uma proporção geométrica média entre os segmentos que são determinados pela média geométrica sobre a hipotenusa.

Obviamente, ambos os teoremas têm inúmeras aplicações em todo o mundo não apenas no campo do ensino, mas também em engenharia, física, química e astronomia.