Leis dos expoentes

Quais são as leis dos expoentes?

As Leis dos expoentes Eles são aqueles que se aplicam a esse número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por si só. Os expoentes também são conhecidos como poderes. A potenciação é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e o poder (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes geralmente são usados ​​quando quantidades muito grandes são usadas, porque essas nada mais são do que abreviações que representam a multiplicação desse mesmo número uma certa quantidade de vezes. Expoentes podem ser positivos e negativos.

O que são expoentes em operações matemáticas?

Como afirmado acima, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números para si mesmos, onde o expoente se relaciona apenas com o número esquerdo. Por exemplo:

2³ = 2*2*2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base da potência, que será multiplicada 3 vezes, conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 elevadas a 3 ou 2 levantadas ao cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos e para diferenciar essa operação da multiplicação, o expoente carrega o sinal menos (-) na frente de si (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de uma fração. Por exemplo:

2^{- 4} = 1/2*2*2*2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é par ou estranho para determinar se o poder será positivo ou negativo. Assim você tem que:

- Se o expoente for par, o poder será positivo. Por exemplo:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Se o expoente for estranho, o poder será negativo. Por exemplo:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2) = -32.

Há um caso especial em que, se o expoente for igual a 0, o poder é igual a 1. Há também a possibilidade de que a base seja 0; Nesse caso, dependendo do expoente, o poder será indeterminado ou não.

Para realizar operações matemáticas com expoentes, é necessário.

Quais são as leis dos expoentes?

Primeira Lei: Poder de Expoente igual a 1

Quando o expoente é 1, o resultado será o mesmo valor que a base: a¹ = a.

Exemplos

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Segunda Lei: Poder de Expoente igual a 0

Quando o expoente for 0, se a base for diferente de zero, o resultado será: a⁰ = 1.

Exemplos

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como o expoente é negativo, o resultado será uma fração, onde o poder será o denominador. Por exemplo, se m é positivo, então^-m = 1/A^m.

Exemplos

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes iguais com o mesmo

Para multiplicar poderes onde as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são adicionados: a^m _* paraⁿ = a^M+n.    

Exemplos

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2^onze

Quinta Lei: Divisão de Poder com a mesma base

Para dividir os poderes nos quais as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos da seguinte forma: a^m / paraⁿ = a^M-N.    

Exemplos

- 9² / 9¹ = 9 ^{(vinte e um)} = 9¹.

- 6^quinze / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Sexta Lei: multiplicação de diferentes poderes com uma base diferente

Nesta lei, existe o oposto do que é expresso no quarto; Isto é, se você tiver bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, as bases são multiplicadas e o expoente é mantido: um^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Exemplos

- 10² _* vinte² = (10 _* vinte)² = 200².

- Quatro cinco^onze _* 9^onze = (45*9)^{11 =} 405^onze.

Outra maneira de representar esta lei é quando uma multiplicação é alta para um poder. Assim, o expoente pertence a cada um dos termos: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Exemplos

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Sétima Lei: Diferente Divisão de Poder

Se você tem bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, as bases são divididas e o expoente é mantido:^m / b^m = (a / b)^m.

Exemplos

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Da mesma forma, quando uma divisão é alta a um poder, o expoente pertence a cada um dos termos: (a / b) ^m = a^m /b^m.

Exemplos

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Há o caso em que o expoente é negativo. Portanto, para ser positivo, o valor do numerador é investido no denominador, como segue:

- (A / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / paraⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem um poder aumentado para outro poder -ou seja, dois expoentes ao mesmo tempo -a base é mantida e os expoentes se multiplicam: (a^m)ⁿ= a^M*n.

Exemplos

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Nona lei: expoente fracionário

Se o poder tem como expoente uma fração, isso é resolvido transformando-o em uma raiz n-ESIMA, onde o numerador permanece como um expoente e o denominador representa o índice raiz:

Exemplo

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre os poderes que têm bases diferentes:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, as bases são multiplicadas no numerador e o expoente é mantido, assim:

2⁴ _* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Agora, como existem bases iguais, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Exercício 2

Calcule operações entre altas potências para outro poder:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

Solução

Aplicando as leis, você precisa:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

= 3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46.656

Referências

1. Aponte, g. (1998). Fundamentos básicos de matemática. Pearson Education.
2. Corbalán, f. (1997). Matemática aplicada à vida cotidiana.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matemática 1 de setembro.
4. Max Peters, W. eu. (1972). Álgebra e trigonometria.
5. Rees, p. K. (1986). Reverte.