Hierarquia de operações

Hierarquia de operações matemáticas. Fonte: f. Zapata.

Qual é a hierarquia das operações?

O Hierarquia de operações A matemática consiste em uma série de regras que estabelecem a prioridade das diferentes operações em um cálculo. Algumas operações devem ser realizadas primeiro e outras mais tarde, para garantir o resultado correto.

É comum que, no mesmo cálculo, existem símbolos de agrupamento, somas, subtração, multiplicações, divisões e poderes, e então vale a pena perguntar qual deles começa.

Por exemplo, na seguinte operação:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Que parte disso é feita primeiro?

Para evitar ambiguidades, os matemáticos estabeleceram que cada operação tem um nível ou hierarquia diferente que indica a ordem de sua realização, embora o mesmo cálculo não contenha necessariamente todos os níveis.

No exemplo proposto, a primeira operação é eliminar parênteses, resolvendo a operação indicada neles e, em seguida, realizando o quadrado, depois executa as multiplicações e, finalmente, as quantias:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Com um pouco de prática e alguma memória ajuda, não é difícil obter sempre o resultado correto em qualquer operação matemática.

Níveis de operações: PEMDAS

A hierarquia de operações consiste em 4 níveis:

• Primeiro nível:  PArmentese e outros sinais de agrupamento (se houver)
• Segundo nível: EXPONENTs e raízes
• Terceiro nível: MUltiplications e DIvisions
• Quarto nível:  PARADicções e SUstrações

Observe que as iniciais de cada operação são destacadas em negrito: P-e-md-as formando a palavra Pemdas.

Esta palavra serve como um lembrete para a ordem em que as operações devem.

Uma vez estabelecido a hierarquia, será dada uma série de indicações para trabalhar com os sinais de agrupamento e, finalmente, muitos exemplos e exercícios resolvidos que esclarecem cada ponto explicado.

Operações com e sem sinais de agrupamento

Para realizar operações com e sem sinais de agrupamento, essas indicações devem ter em mente:

• Os símbolos ou sinais de agrupamento são usados ​​para facilitar os cálculos, expressando uma ordem específica para cada operação. Começa resolvendo as operações contidas no sinal mais interno, que geralmente é um parêntese, então o que se segue e, finalmente, o mais externo. Os sinais de grupo mais utilizados são: parênteses (), colchetes [] e chaves .
• Em todos os momentos, a lei dos sinais deve ser levada em consideração e aplicada de acordo com o tipo de operação que está sendo executada:
  • Um grupo de grupo precedido por um sinal de A + é eliminado sem ser necessário alterar os sinais do conteúdo. Exemplo: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Quando os sinais de grupo precedidos por um sinal serão eliminados - você precisa alterar os sinais do conteúdo. Exemplo: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Cruz "×" símbolos e altura média "∙".
• Se grupos de parênteses aparecerem sem algum sinal entre eles, é uma multiplicação ou se um número ao lado de um parêntese aparecer, ele multiplica o conteúdo. Exemplos: (−5) (4) = −20 e 7 (5+1) = 42.
• Para multiplicação e divisão, a lei dos sinais estabelece que:
  • O produto ou razão de dois números de sinal igual é sempre positivo. Exemplo: (−3) × (−4) = 12
  • Quando você tem o produto ou proporção de dois números de sinal diferente, o resultado é sempre negativo. Exemplo: (−48) ÷ 6 = −8
• Quando a operação não tem sinais de agrupamento, essa ordem é seguida: primeiro os expoentes e raízes são resolvidos, se houver, então as multiplicações e divisões e, finalmente, as somas e as subtrações.
• Operações que têm a mesma hierarquia são realizadas da esquerda para a direita.

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Exemplos passo a passo

Exemplos de uso da hierarquia de operações aritméticas para resolver operações

Exemplo 1: Operações sem agrupar sinais

Resolva as seguintes operações sem sinais de agrupamento:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Esta operação consiste apenas em somas e subtração, que estão no mesmo nível e podem funcionar simultaneamente, por exemplo:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) -8 + 3 × 4 + 31

Aqui a multiplicação 3 × 4 = 12 deve ser resolvida primeiro, depois continuamos a adicionar quais resultados:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

A operação contém um poder, por isso é resolvido primeiro 3³ = 27 e então quais resultados:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 −4² + 10 ÷ 2 - 26

Esta operação contém energia, multiplicação, divisão e subtração. Poder 4² = 16 vai primeiro:

4 × 3−4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26

Em seguida, siga a multiplicação e a divisão 4 × 3 = 12 e 10 ÷ 2 = 5

4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12−16 + 5 - 26

E o resultado é adicionado:

12−16 + 5 - 26 = - 25

Exemplo 2: Operações com sinais de agrupamento

Resolva as seguintes operações com o símbolo de agrupamento, levando em consideração que a operação que envolve o símbolo deve ser realizada primeiro e depois aplicar a lei dos sinais.

a) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

O parêntese deve ser eliminado primeiro. Ao resolver a operação que contém o símbolo, é obtido:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

Dessa maneira, uma operação com produto e quociente é obtida. Observe que os 2 que precedem os parênteses também simbolizam um produto, embora o símbolo de multiplicação não apareça, portanto, ele pode ser escrito:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Essas operações têm a mesma prioridade, portanto são resolvidas ao mesmo tempo, começando da esquerda para a direita:

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= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Aqui, a operação é realizada dentro dos parênteses e calcule a potência:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Então a divisão indicada é realizada:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Finalmente as somas e a subtração:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

Nesta operação, os parênteses são resolvidos pela primeira vez, pois é o símbolo de grupo mais interno:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Agora há uma energia dentro do suporte, que envolve um número inteiro negativo. Sabe -se que, se a base for negativa e o expoente for estranho, o resultado é negativo, portanto, o mais conveniente é resolver esta operação:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Em seguida, a lei dos sinais é aplicada ao quociente (-8) ÷ 2 = -8 ÷ 2 e os seguintes permanecem:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

Na próxima etapa, o suporte é eliminado, percebendo que é precedido por um sinal negativo, o que significa que o conteúdo dos sinais no suporte deve mudar:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Observa -se que existe uma divisão no suporte que ainda não foi realizada e deve ser executada, já que as chaves, como um símbolo de agrupamento, ressalta que essa operação tem prioridade:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

Pode atendê -lo: produtos notáveis

Novamente, a operação entre as chaves tem prioridade:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Como não há símbolo entre 4 e a quantidade entre as teclas, é uma multiplicação:

4 - 17 = - 68

Exercícios resolvidos

Determine o resultado das seguintes operações:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10- 22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Solução para

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12−16 + 86 = 82

Solução b

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Referências

1. Baldor, a. 2007. Aritmética teórica prática. Grupo Editorial Patria S.PARA. claro.V.
2. Desfrute de matemática. A ordem das operações de PEMDAS. Recuperado de: desfrutar.com
3. Instituto Monterey. Ordem de operações. Recuperado de: MontereyInstitute.org.
4. Universidade Tecnológica de Chihuahua. Curso de nivelamento de matemática. Recuperado de: www.utch.Edu.mx.