Propriedades integrais integrais, aplicações, cálculo (exemplos)

O Integral indefinida É a operação reversa da derivação e denotá -la, o símbolo alongado “S” é usado: ∫. Matematicamente, a integral indefinida da função f (x) está escrita:

∫f (x) dx = f (x) + c

Onde a integração f (x) = f '(x) é uma função da variável x, que, por sua vez.

figura 1. Integral indefinido é uma das ferramentas mais poderosas para modelagem matemática. Fonte: Wikimedia Commons. WallPoper / Domínio Público.

Por sua vez, C é uma constante que é conhecida como Constante de integração, que sempre acompanha o resultado de qualquer integral indefinida. Veremos sua origem imediatamente através de um exemplo.

Suponha que eles nos peça para encontrar o seguinte integral indefinido I:

I = ∫x.Dx

Eu imediatamente identifico f '(x) com x. Isso significa que devemos fornecer uma função f (x) de modo que sua derivada seja x, algo que não é difícil:

f (x) = ½ x²

Sabemos que quando derivado f (x) chegamos a f '(x), verificamos:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Agora, a função: f (x) = ½ x² + 2 também satisfaz o requisito, uma vez que a derivação é linear e a derivada de uma constante é 0. Outras funções que, quando derivadas, resultam em f (x) = são:

½ x² -1, ½ x² + quinze; ½ x² - √2…

E em geral todas as funções do formulário:

f (x) = ½ x² + C

São respostas corretas para o problema.

Qualquer uma dessas funções é chamada de antiderivada ou primitiva de f '(x) = x e é precisamente o conjunto de todos os antiderivativos de uma função que é conhecida como uma integral indefinida.

Basta conhecer um dos primitivos, porque, como visto, a única diferença entre eles é o constante C da integração.

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Se o problema contiver condições iniciais, é possível calcular o valor de C para se adaptar a eles (veja o exemplo resolvido posteriormente).

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Como calcular uma integral indefinida

No exemplo anterior ∫x foi calculado.dx porque uma função f (x) sabia que, quando foi derivado, resultou na integração.

É por isso que das funções mais conhecidas e seus derivados, as integrais básicas podem ser resolvidas.

Além disso, existem algumas propriedades importantes que expandem a gama de possibilidades ao resolver uma integral. Ser k Um número real, então é verdade que:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Dependendo da integração, existem vários métodos algébricos, bem como numéricos para resolver integrais. Aqui mencionamos:

-Mudança de variável

-Substituições algébricas e trigonométricas.

-Integração por partes

-Decomposição em frações simples para integrar o tipo racional

-Uso de tabelas

-Métodos numéricos.

Existem integrais que podem ser resolvidos por mais de um método. Infelizmente, não há critério único para determinar a priori o método mais eficaz para resolver uma integral específica.

De fato, alguns métodos permitem alcançar a solução de certos integrais mais rapidamente do que outros. Mas a verdade é que adquirir habilidade resolvendo integrais que você deve praticar com cada método.

- Exemplo resolvido

Resolver:

Solução

Vamos fazer uma mudança de variável simples para a quantidade subradical:

U = x-3

Com:

X = u+3

Derivando os dois lados em qualquer uma das expressões que você recebe:

Dx = du

Agora substituímos a integral, que indicaremos como eu:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Pode atendê -lo: variável ordinal

Aplicamos propriedades distributivas e multiplicação de poderes de base igual, e é obtida:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Para a propriedade 3 da seção anterior:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Agora a propriedade 4 é aplicada, que é conhecida como Regra de energia:

Primeiro integral

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Segunda integral

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Então os resultados se reúnem:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

As duas constantes podem se reunir em uma sem problemas. Por fim, não devemos esquecer de retornar a mudança de variável que foi feita antes e expressar o resultado em termos da variável original x:

I = (2/5) (X-3)^5/2  + 2 (X-3)^3/2  + C

É possível levar em consideração o resultado:

I = 2 (X-3) ^3/2 [(1/5) (X-3) +1] + C = (2/5) (X-3) ^3/2 (x + 2) + c

Formulários

A integral indefinida se aplica a vários modelos em ciências naturais e sociais, por exemplo:

Movimento

Na solução de problemas de movimento, para calcular a velocidade de um celular, conhecida sua aceleração e no cálculo da posição de um celular, conhecida sua velocidade.

Economia

Ao calcular os custos de produção e modelar uma função de demanda, por exemplo.

Exercício de aplicação

A velocidade mínima exigida por um objeto para escapar da atração gravitacional terrestre é dada por:

Nesta expressão:

-v é a velocidade do objeto que deseja escapar da terra

-E é a distância medida do centro do planeta

-M é a massa da Terra

-G é gravitação constante

Pode servir a você: distribuição normal: fórmula, características, exemplo, exercício

É solicitado a encontrar o relacionamento entre v e e, Resolvendo as integrais indefinidas, se o objeto for conferido uma velocidade inicial V_qualquer E o raio da terra é conhecido e é chamado de r.

Figura 2.- Uma soyuz de satélite artificial. Se for fornecida muita velocidade, escapará da gravidade da Terra, a velocidade mínima para que isso aconteça é chamada de velocidade de escape. Fonte: Wikimedia Commons.

Solução

Somos apresentados com duas integrais indefinidos para resolver através das regras de integração:

Yo₁ = ∫V DV = V²/2 + c₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ e^-2 dy = -gm [e^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = Gm. e^-1 + C₂

Nós é igual a i₁ e eu₂:

v²/2 + c₁ = Gm. e^-1 + C₂

As duas constantes podem se reunir em uma:

Depois que as integrais são resolvidas, aplicamos as condições iniciais, que são as seguintes: Quando o objeto está na superfície da terra, está a uma distância r do centro do mesmo. Na declaração, eles nos dizem que é a distância medida do centro da terra.

E apenas estar na superfície é que a velocidade inicial é fornecida com a qual escapará da atração gravitacional do planeta. Portanto, podemos estabelecer que V (r) = V_qualquer. Nesse caso, nada nos impede de substituir essa condição no resultado que acabamos de obter:

E desde v_qualquer Sabe -se, assim como G, M e R, podemos limpar o valor da constante de integração C:

Que podemos substituir no resultado das integrais:

E finalmente limpamos v², Factorar e agrupar corretamente:

Esta é a expressão que relaciona velocidade v de um satélite que disparou da superfície do planeta (raio r) com rapidez inicial Vo, Quando está à distância e Do centro do planeta.

Referências

1. Haeussler, e. 1992. Matemática para Administração e Economia. Grupo editorial da Iberoamerica.
2. Hiperfísica. Velocidade de escape. Recuperado de: hthyperphysics.Phy-Atr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Cálculo de uma variável. 9NA. Edição. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9NA. Edição. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Exemplo de integrais. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.