Função bijetiva O que é, como é feito, exemplos, exercícios

A Função bijectiva É aquele que atende à dupla condição de ser Injetivo e superjetivo. Ou seja, todos os elementos do domínio têm uma única imagem no codomínio e, por sua vez, o codomínio é igual ao intervalo da função ( R_F ).

É cumprido quando uma relação biunivocal entre os elementos do domínio e o codomínio é considerada. Um exemplo simples é a função F: r → R definido pela linha F (x) = x

Fonte: Autor

Observa -se que, para cada valor do domínio ou conjunto de partida (ambos os termos se aplicam igualmente), há uma única imagem no codomínio ou conjunto de chegada. Além disso, não há elemento de codomínio que não seja imagem.

Desta forma F: r → R definido pela linha F (x) = x é bijetivo

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Como é uma função bijectiva?

Para responder a isso, é necessário ter conceitos claros relacionados a Injetividade e Overjectividade de uma função, Além dos critérios para o condicionamento das funções para adaptá -las aos requisitos.

Injetividade de uma função

Uma função é Injetivo Quando cada um dos elementos de seu domínio está relacionado a um único elemento de codomínio. Um elemento de codomínio pode ser apenas uma imagem de um único elemento do domínio, dessa maneira os valores da variável dependente não podem ser repetidos.

Considerar Injetivo O seguinte deve ser cumprido a uma função:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Overjectividade de uma função

Uma função é classificada como Superjetivo, Se cada elemento de seu codomínio for uma imagem de pelo menos um elemento de domínio.

Considerar Superjetivo O seguinte deve ser cumprido a uma função:

Pode atendê -lo: amostragem de substituição

Ser F: d_F → C_F

∀ B ℮ C_F  E para ℮  D_F   / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer isso para cada "b" que pertence a c_F Há um "A" que pertence a D_F de modo que a função avaliada em "A" seja igual a "B". 

Condicionamento de funções

Às vezes uma função que não é Bijetivo, pode sofrer um determinado condicionamento. Essas novas condições podem transformá -lo em um Função bijectiva. Todos os tipos de modificações no domínio e codomínio da função são válidos, onde o objetivo é atender às propriedades de injetividade e superestimidade no relacionamento correspondente.

Exemplos: exercícios resolvidos

Exercício 1

Seja a função F: r → R definido pela linha F (x) = 5x +1

A: [todos os números reais]

Observa -se que, para qualquer valor de domínio, existe uma imagem no codomínio. Esta imagem é única, o que torna F Seja um Função injetiva. Da mesma maneira, observamos que o codomínio da função é igual ao seu intervalo. Cumprindo assim a condição de Superjectividade.

Sendo injetivo e superjetivo ao mesmo tempo, podemos concluir que

F: r → R definido pela linha F (x) = 5x +1 é uma Função bijectiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau da variável é uma).

Exercício 2

Seja a função F: r → R definido por F (x) = 3x² - 2

Ao desenhar uma linha horizontal, observa -se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Por causa disso, a função F Não é injetivo e, portanto, não será Bijetivo Enquanto é definido em R → R

Da mesma maneira, existem valores de codomínio que não são imagens de nenhum elemento de domínio. Por esse motivo, a função não é sobrejetiva, o que também merece condicionar o conjunto de chegada.

Pode servir a você: teoria do conjunto: características, elementos, exemplos, exercícios

O domínio e o codomínio da função são condicionados

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ]

Onde é observado que o novo domínio cobre valores de zero a infinito positivo. Evitando a repetição de valores que afetam a injetividade.

Assim, o codomínio foi modificado, contando de "-2" para o infinito positivo, eliminando do codomínio os valores que não correspondiam a nenhum elemento de domínio

Dessa forma, pode -se garantir que F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ] definido por F (x) = 3x² - 2

É bijetivo

Exercício 3

Seja a função F: R → R definido por F (x) = sin (x)

No intervalo [[ -∞ , +∞ ] A função sinusal varia seus resultados entre zero e um.

Fonte: Autor.

A função F Não corresponde aos critérios de injetividade e superjecução, porque os valores variáveis ​​dependentes são repetidos a cada intervalo π. Além dos termos do codomínio fora do intervalo [ -onze ] Eles não são a imagem de nenhum elemento de domínio.

Ao estudar os gráficos da função F (x) = sin (x) são observados intervalos onde o comportamento da curva atende aos critérios de Bijectividade. Como o intervalo  D_F  = [[  π/2,3π/2  ] Para domínio. E C_F  = [-1, 1] Para codomínio.

Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente. E ao mesmo tempo o co -ominium é igual aos valores adotados pela expressão Pecado (x)

Desta forma, a função F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definido por F (x) = sin (x). É bijetivo

Exercício 4

Levantar as condições necessárias para D_F e C_F. Para que a expressão

Pode servir a você: Erro de amostragem: fórmulas e equações, cálculo, exemplos

F (x) = -x²  Ser bijeção.

Fonte: Autor

A repetição dos resultados é observada quando a variável leva valores opostos:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

O domínio está condicionado, limitando -o ao lado direito da linha real.

D_F = [0 , +∞ ]

Da mesma maneira, observa -se que o alcance dessa função é o intervalo [[ -∞ , 0], que, servindo como codomínio, atende às condições de superjecução.

Dessa maneira, podemos concluir que

A expressão F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definido por F (x) = -x²   É bijetivo

Exercícios propostos

Verifique se as seguintes funções são bijetivas:

F: [0 , ∞) → R definido por F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definido por F (x) = 5ctg (x)

F: [ -π,π  ] → R definido por F (x) = cos (x - 3)

F: r → R definido pela linha F (x) = -5x + 4

Referências

1. Introdução à lógica e pensamento crítico. Merrilee h. Salmão. Universidade de Pittsburgh
2. Problemas em análise matemática. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Pólo.
3. Elementos da análise abstrata. MÍCHEL O'SEARCOID PhD. Departamento de Matemática. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introdução à lógica e à metodologia das ciências dedutivas. Alfred Tarski, Nova York Oxford. imprensa da Universidade de Oxford.
5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial reverté s. A 1991. Barcelona Espanha.