Exemplos de fatoração comuns e exercícios

O Fatoração comum de uma expressão algébrica consiste em determinar dois ou mais fatores cujo produto é igual à expressão proposta. Dessa forma, procurando o fator comum, o processo de fatoração sempre começa.

Para isso, é observado se houver uma presença de um termo comum, que pode ser letras e números. No caso das letras, os literais comuns são considerados um fator comum para todos os termos que têm o menor expoente e, para os números, o divisor máximo comum (MCD) de todos os coeficientes é calculado.

figura 1. Na fatorização comum, literais e coeficientes comuns a cada termo são procurados. Fonte: Pixabay/F. Zapata.

O produto de ambos os fatores comuns, desde que seja diferente de 1, será o fator comum da expressão. Uma vez encontrado, por divisão de cada termo entre o referido fator, a fatoração final é estabelecida.

Aqui está um exemplo de como fazê -lo, considerando este trinomial:

4x⁵-12x³+8x²

Observa -se que todos os termos contêm o literal "x", cujo menor poder é x². Quanto aos coeficientes numéricos: 4, -12 e 8 são todos múltiplos de 4. Portanto, o fator comum é 4x².

Depois que o fator é encontrado, cada termo da expressão original é dividido entre ele:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Finalmente, a expressão é reescrita como o produto do fator comum e a soma dos resultados das operações anteriores, assim:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

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Como levar em consideração quando não há fator comum

Se o fator comum não for evidente como no exemplo anterior, ainda é possível levar em consideração, observar a expressão cuidadosamente, para ver se é possível implementar algum dos seguintes métodos:

Pode atendê -lo: gráficos polybal

Diferença de dois quadrados perfeitos

É uma expressão binomial de forma:

para² - b²

Isso pode ser fatorial através da aplicação do produto notável:

para² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

O procedimento é o próximo:

-Primeiro extraia a raiz quadrada de cada um dos quadrados perfeitos.

-Em seguida, forme o produto entre a soma dessas raízes e sua diferença, conforme indicado.

Trinomial quadrado perfeito

Os trinômios da forma:

x² ± 2A⋅x + A²

Eles estão considerando o produto notável:

(x+a)² = x² ± 2A⋅x + A²

Para aplicar essa fatoração, deve -se corroborar que o trinômio em vigor tenha dois quadrados perfeitos e que o termo restante é o duplo produto das raízes quadradas desses valores.

Trinomial da forma x² + mx + n

Se o trinômio para fator não tiver dois quadrados perfeitos, é tentado escrevê -lo como produto de dois termos:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Onde deve ser cumprido sempre que:

N = a⋅b

M = a+b

Fatoração agrupando termos

Às vezes, a expressão a ser fator não tem um fator comum, nem corresponde a nenhum dos casos descritos acima. Mas se o número de seus termos for par, esse procedimento poderá ser tentado:

-Casais de grupo que têm um fator comum.

-Ficar cada casal por fator comum, de modo que os termos entre parênteses são iguais, ou seja, de modo que, por sua vez, os parênteses são um fator comum. Se com o grupo escolhido não é, você deve tentar com outra combinação para encontrá -lo.

-A fatoração procurada é o produto dos termos dentro dos parênteses para os fatores comuns de cada casal.

Os exemplos que ajudarão a esclarecer os casos discutidos.

Exemplos

Fator as seguintes expressões algébricas:

a) 6AB² - 18²b³

Este é um exemplo de um fator comum. Começando na parte literal, as letras A e B estão presentes nos dois termos. Para a variável "A", o expoente menor é 1 e está no termo 6AB², enquanto para a letra "B", o expoente menor é B².

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Então, ab² É um fator comum na expressão original.

Quanto aos números, existem 6 e -18, este último é um múltiplo de 6, desde -18 = -(6 × 3). Portanto, o 6 é um coeficiente numérico do fator comum, que multiplicado pela parte literal é:

6AB²

Agora, cada termo original é dividido por esse fator comum:

• 6AB² ÷ 6AB² = 1
• (-18²b³) ÷ 6AB² = -3ab

Finalmente, a expressão original é reescrita como um produto entre o fator comum e a soma algébrica dos termos encontrados na etapa anterior:

6AB² - 18²b³ = 6AB² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Esta expressão é uma diferença dos quadrados perfeitos; portanto, extraindo raízes quadradas para ambos os termos, respectivamente é obtida:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

A expressão original é escrita como o produto da soma dessas raízes quadradas por sua diferença:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

É um trinômio da forma x² + MX + N, já que 8 não é um quadrado perfeito de outro número inteiro, então você precisa encontrar dois números A e B, de modo que eles cumpram simultaneamente:

• para.B = 8
• A + b = 6

Por Tanteo, isto é, testes, os números procurados são 4 e 2, já que:

4 × 2 = 8 e 4 + 2 = 6

Então:

z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

O leitor pode verificar, aplicando a propriedade distributiva no lado direito da igualdade, que ambas as expressões são equivalentes.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Essa expressão é um candidato à fatoração agrupando termos, pois não há fator comum óbvio a olho nu e também tem alguns termos.

Está agrupado da seguinte maneira, sabendo que a ordem das adições não altera a soma:

Pode atendê -lo: Obtusangle Triangle

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Cada parêntese tem seu próprio fator comum:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

O fator comum definitivo já foi revelado: é a parêntese que é repetida em ambos os termos (2x -3y).

Agora pode ser fator novamente:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Portanto:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Novamente, o leitor pode aplicar a propriedade distributiva ao direito de igualdade, para corroborar a igualdade.

Exercícios resolvidos

Fatore:

a) e² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3º⁴ + para³ + 15a + 5

Solução para

É um trinômio quadrado perfeito, começa encontrando a raiz quadrada dos termos quadrados perfeitos:

√ (e²) = y

√ 25 = 5

É verificado que o termo do centro é o produto duplo desses dois:

10y = 2. 5. e

E a fatoração procurada é:

e² - 10y + 25 = (Y-5)²

Solução b

A expressão também é um trinômio quadrado perfeito:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

O termo central é verificado:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Finalmente:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Solução c

O problema é um trinômio do tipo X² + Mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

M = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Os números apropriados são 7 e -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Solução d

3º⁴ + para³ + 15a + 5 = (3a⁴ + para³) + (15a + 5)

O fator comum de (3º⁴ + para³) que³ e o de (15a + 5) é 5, sendo agrupado da seguinte maneira:

(3º⁴ + para³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Figura 2. Exercícios de fatoração para praticar. Fonte: f. Zapata.

Referências

1. Baldor, a. 2005. Álgebra. Grupo de pátria cultural.
2. Larson, r. 2012. Pré -cálculo. 8º. Edição. Cengage Learning.
3. Mathworld. Fatoração. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.
4. Mathworld. Fator Polinomial. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.
5. Stewart, J. 2007. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
6. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.