Demonstração de eventos independentes, exemplos, exercícios

Dois Os eventos são independentes, Quando a probabilidade de um deles acontecer não é influenciada pelo fato de que o outro ocorre -ou não acontece -considerando que esses eventos ocorrem aleatoriamente.

Sempre é dada essa circunstância que o processo gerado pelo resultado do evento 1 não altera de forma alguma a probabilidade dos possíveis resultados do evento 2. Mas se não for esse o caso, diz -se que os eventos são dependentes.

figura 1. As mármores coloridas são frequentemente usadas para explicar a probabilidade de eventos independentes. Fonte: Pixabay.

Uma situação de eventos independentes é a seguinte: suponha que dois dados de seis lados sejam jogados, um azul e o outro rosa. A probabilidade de um 1 nos dados azuis é independente da probabilidade de que um 1 ou não sai - nos dados rosa.

Outro caso de dois eventos independentes é lançar uma moeda duas vezes seguidas. O resultado do primeiro lançamento não dependerá do resultado do segundo e vice -versa.

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Demonstração de dois eventos independentes

Para verificar se dois eventos são independentes, definiremos o conceito de probabilidade condicionada de um evento em relação a outro. Para isso, é necessário diferenciar eventos exclusivos e eventos inclusivos:

Dois eventos são exclusivos, se possível, valores ou elementos do evento A, não têm nada em comum com os valores ou elementos do evento B.

Portanto, em dois eventos exclusivos, o conjunto de interseção de A com B é o vazio:

Eventos exclusivos: a∩b = Ø

Pelo contrário, se os eventos forem inclusivos, pode acontecer que um resultado do evento A também coincide com o de outro B, sendo os eventos A e B diferentes. Neste caso:

Eventos inclusivos: a∩b ≠ Ø

Isso nos leva a definir a probabilidade condicionada de dois eventos inclusivos; em outras palavras, a probabilidade de ocorrência do evento A, desde que ocorra o Evento B:

P (a ebs) = p (a∩b)/p (b)

Portanto, a probabilidade condicionada é a probabilidade que ocorre para e B dividida pela probabilidade de que ocorra B. A probabilidade que é baseada em A:

P (b ~a) = p (a∩b)/p (a (a)

Critérios para saber se dois eventos são independentes

Em seguida, daremos três critérios para saber se dois eventos são independentes. Basta que um dos três seja cumprido, para que a independência dos eventos seja demonstrada.

1.- Se a probabilidade que ocorrerá enquanto B for igual à probabilidade de A, esses são eventos independentes:

Pode servir a você: propriedade da Bloqueio de Álgebra: Demonstração, Exemplos

P (a eb) = p (a) => a é independente de B

2.- Se a probabilidade que ocorrer dada é igual à probabilidade de B, eles têm eventos independentes:

P (b ... a) = p (b) => b é independente de um

3.- Se a probabilidade que ocorre para e B é igual ao produto da probabilidade que ocorre com a probabilidade de que ocorra B, esses são eventos independentes. O recíproco também é verdadeiro.

P (a∩b) = p (a) p (b) a e b são eventos independentes.

Exemplos de eventos independentes

As solas de borracha produzidas por dois fornecedores diferentes são comparadas. As amostras de cada fabricante são submetidas a vários ensaios dos quais são concluídos se estão ou não dentro das especificações. 

Figura 2. Variedade de solas de borracha. Fonte: Pixabay.

O resumo resultante das 252 amostras é o seguinte:

Fabricante 1; 160 atendem às especificações; 8 não atendem às especificações.

Fabricante 2; 80 atendem às especificações; 4 não atendem às especificações.

Evento A: "A amostra é do fabricante 1".

Evento B: "Que a amostra atenda às especificações".

É desejado saber se esses eventos A e B são ou não são independentes, para os quais aplicamos um dos três critérios mencionados na seção anterior.

Critérios: P (Bped) = P (B) => B é independente de um

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b –a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Conclusão: Os eventos A e B são independentes.

Suponha que um evento C: "Que o show venha do fabricante 2"

Será o evento B independente do evento C?

Aplicamos um dos critérios.

Critérios: P (B min

P (b Oh) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Portanto, de acordo com os dados disponíveis, a probabilidade de uma sola de borracha escolhida aleatoriamente atender às especificações, é independente do fabricante. 

Transformar um evento independente em um dependente

Vejamos o exemplo a seguir para distinguir entre os eventos dependentes e independente. 

Temos uma bolsa com duas bolas de chocolate branco e duas bolas pretas. A probabilidade de obter uma bola branca ou preta é a mesma na primeira tentativa.

Suponha que o resultado tenha sido uma bola branca. Se a bola extraída for reabastecida na bolsa, a situação original será repetida: duas bolas brancas e duas bolas pretas.

Então, em um segundo evento ou extração, as possibilidades de tirar uma bola branca ou uma bola preta são idênticas às da primeira vez. Portanto, são eventos independentes.

Mas se a bola branca não for reabastecida no primeiro evento porque a comemos, na segunda extração, há maiores possibilidades de obter uma bola preta. A probabilidade de que em uma segunda extração seja obtida novamente branca, seja diferente da do primeiro evento e seja condicionada pelo resultado anterior.

Pode atendê -lo: Triângulo Scaleno

Exercícios

- Exercício 1

Em uma caixa, colocamos os 10 mármores na Figura 1, dos quais 2 são verdes, 4 azul e 4 brancos. Eles vão escolher dois bolinhas aleatórias, uma primeiro e uma depois. É solicitado a encontrar o
Probabilidade de que nenhum deles seja azul, nas seguintes condições:

a) Com substituição, isto é, retornando à caixa o primeiro mármore antes da segunda seleção. Indique se eles são eventos independentes ou dependentes.

b) sem substituição, para que o primeiro mármore extraído esteja fora da caixa no momento de fazer a segunda seleção. Da mesma forma, aponte se eles são eventos dependentes ou independentes.

Solução para

Calculamos a probabilidade de que o primeiro mármore extraído não seja azul, que é 1 menos a probabilidade de ser azul p (a), ou diretamente que não é azul, porque saiu verde ou branco:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (sem azul) = 1 - (2/5) = 3/5

O bem:

P (verde ou branco) = 6/10 = 3/5.

Se o mármore for devolvido, tudo está novamente como antes. Nesta segunda extração, também há 3/5 de probabilidade de que o mármore extraído não seja azul.

P (sem azul, sem azul) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Os eventos são independentes, uma vez que o mármore extraído retornou à caixa e o primeiro evento não influencia a probabilidade de ocorrência do segundo.

Solução b

Para a primeira extração, o mesmo ocorre na seção anterior. A probabilidade de não ser azul é 3/5.

Para a segunda extração, temos 9 mármores na bolsa, já que a primeira não retornou, mas não era azul, portanto, 9 bolinhas e 5 não -azul são deixadas na bolsa:

P (verde ou branco) = 5/9.

P (nenhum ser azul) = P (primeiro sem azul). P (Segundo não -azul /primeiro não era azul) = (3/5) . (5/9) = 1/3

Nesse caso, não se trata de eventos independentes, já que o primeiro evento condiciona o segundo.

- Exercício 2

Uma loja tem 15 camisas em três tamanhos: 3 pequenos, 6 médios e 6 grandes. 2 camisas são selecionadas aleatoriamente.

a) Que probabilidade ambas as camisas selecionadas são pequenas, se for removida pela primeira vez e sem substituir o lote outro?

b) O que provável, ambas as camisas selecionadas são pequenas, se uma for removida pela primeira vez, a segunda é substituída e a segunda é removida?

Pode atendê -lo: função variável real e sua representação gráfica

Solução para

Aqui estão dois eventos:

Evento A: A primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: A segunda camisa selecionada é pequena

A probabilidade do evento A é: P (a) = 3/15

A probabilidade que é do evento B é: p (b) = 2/14, porque uma camisa já havia sido extraída (14), mas também é desejada encontrar o evento com a primeira camisa extraída 2 pequeno.

Em outras palavras, a probabilidade de A e B será o produto das probabilidades é:

P (a e b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Portanto, a probabilidade de ser do evento A e B é igual ao produto que o evento é, devido à probabilidade de evento B se o evento foi dado.

Deve -se notar que:

P (B ~A) = 2/14

A probabilidade do Evento B, independentemente de o evento ser dado ou não: será ou não:

P (b) = (2/14) se o primeiro era pequeno, ou p (b) = 3/14 se o primeiro não fosse pequeno.

Em geral, o seguinte pode ser concluído:

P (BPED) não é igual a P (B) => B não é independente de um

Solução b

Existem dois eventos novamente:

Evento A: A primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: A segunda camisa selecionada é pequena

P (a) = 3/15

Lembre -se de qual é o resultado, a camisa é substituída do lote e novamente remove aleatoriamente uma camisa. A probabilidade do evento B, se o evento A foi dado:

P (B ~A) = 3/15

A probabilidade de que os eventos recebam A e B sejam:

P (a e b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Observe que: 

P (b ~a) é igual a p (b) => b é independente de um.

- Exercício 3

Considere dois eventos independentes A e B. Sabe -se que a probabilidade de o evento ocorrer é 0,2 e a probabilidade de o evento B ocorrer é 0,3. Qual será a probabilidade de que ambos os eventos ocorram?

Solução 2

Sabendo que os eventos são independentes, sabe -se que a probabilidade de que ambos ocorrem é o produto de probabilidades individuais. Quer dizer,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Observe que é uma probabilidade muito menor do que a probabilidade de que cada evento ocorra independentemente do resultado do outro. Ou em outras palavras, muito menos do que probabilidades individuais.

Referências

1. Berenson, m. 1985. Estatística para administração e economia. Inter -American S.PARA. 126-127.
2. Instituto Monterrey. Probabilidade de eventos independentes. Recuperado de: Monterreyinstitute.org
3. Professor da MATS. Eventos independentes. Recuperado de: youtube.com
4. Superprof. Tipos de eventos, eventos dependentes. Recuperado de: superprof.é
5. Tutor virtual. Probabilidade. Recuperado de: Vitutor.líquido
6. Wikipedia. Independência (probabilidade). Recuperado de: Wikipedia.com