Espaço de vetor de base e dimensão, axiomas, propriedades

A espaço vetorial É um conjunto não vazio V= ou, v, C,…, cujos elementos são vetores. Com eles, são realizadas algumas operações importantes, entre as seguintes que se destacam:

- Soma entre dois vetores u + v como resultado z, que pertence ao todo V.

- Multiplicação de um número real α por um vetor v: α v Isso dá a outro vetor e que pertence a V.

Visão artística de um espaço vetorial. Fonte: Pixabay

Para denotar um vetor, usamos ousados ​​(v É um vetor) e para os escalares ou números letras gregas (α é um número).

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Axiomas e propriedades

Para ser um espaço vetorial, os próximos oito axiomas devem ser cumpridos:

1-Consutabilidade: ou +v = v +ou

2-transitividade: (ou + v) + C = ou + ( v + C)

3-existência do vetor nulo 0 tal que 0 + v = v

4-existência do oposto: o oposto de v é (-v) , já que v + (-v) = 0

Distributividade de 5 produtos em relação à soma vetorial: α ( ou + v ) = αou +αv

Distributividade de 6 produtos em relação à soma escalar: (α + β)v = αv +βv

7-Associative do produto escalar: α (β v) = (α β)v

8-o número 1 É o elemento neutro desde: 1v = v

Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo 1

Os vetores no avião (R²) são um exemplo de espaço vetorial. Um vetor no avião é um objeto geométrico que tem magnitude e direção. É representado por um segmento orientado que pertence ao referido avião e com um tamanho proporcional à sua magnitude.

A soma de dois vetores no avião pode ser definida como a operação geométrica do segundo vetor após o primeiro. O resultado da soma é o segmento orientado que começa com a origem do primeiro e atinge a ponta do segundo.

Na figura, pode -se notar que a soma em r² é comutativa.

Figura 2. Vetores no espaço de vetor de forma plana. Fonte: Self feito.

O produto de um número α também é definido por um vetor. Se o número for positivo, o endereço vetorial original será mantido e o tamanho é α vezes o vetor original. Se o número for negativo, o endereço é o oposto e o tamanho do vetor resultante é o valor absoluto do número.

O vetor oposto a um vetor qualquer v é -v = (-1) v.

O vetor nulo é um ponto no plano R², e o número zero por um vetor resulta no vetor nulo.

Tudo dito é ilustrado na Figura 2.

Exemplo 2

O conjunto P De todos os polinômios menores ou iguais a dois, incluindo o grau zero, eles formam um conjunto que atende a todos os axiomas de um espaço vetorial.

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Seja o polinomial p (x) = a x² + b x + c y q (x) = d x² + e x + f

A soma de dois polinômios é definida: p (x) + q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

A soma de polinômios pertencentes ao todo P É comutativo e transitivo.

O polinômio nulo pertencente ao todo P É aquele que tem todos os seus coeficientes iguais a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

A soma de um escalar α é definida por um polinômio como: α p (x) = α ∙ a x² + α ∙ b x + α ∙ c

O polinômio oposto de p (x) é -p (x) = (-1) p (x).

De tudo isso, segue -se que o conjunto P De todos os polinômios menores ou iguais a dois, é um espaço vetorial.

Exemplo 3

O conjunto M De todas as matrizes de M linhas x n colunas cujos elementos são números reais formam um espaço vetorial real, com relação à soma de matrizes e produto de um número por uma matriz.

Exemplo 4

O conjunto F de funções contínuas da variável real forma um espaço vetorial, uma vez que a soma de duas funções pode ser definida, a multiplicação de um escalar por uma função, a função nula e a função simétrica. Eles também cumprem os axiomas que caracterizam um espaço vetorial.

Base e dimensão de um espaço vetorial

Base

Um conjunto de vetores linearmente independentes é definido como a base de um espaço vetorial, de modo que, de uma combinação linear deles, qualquer vetor desse espaço vetorial possa ser gerado.

A combinação linearmente de dois ou mais vetores consiste em multiplicar vetores por algum escalar e depois adicioná -los vetoriais.

Por exemplo, no espaço vetorial do vetor em três dimensões formadas por R³, a base canônica definida pelos vetores da unidade (de magnitude 1) é usada (de magnitude 1) Yo, J, k.

Onde Yo = (1, 0, 0); J = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Estes são vetores cartesianos ou canônicos.

Qualquer vetor V pertencente a r³ está escrito como V = a Yo + b J + c k, que é uma combinação linear de vetores de base Yo, J, k. Escalares ou números A, B, C são conhecidos como componentes cartesianos de V.

Dizem também que os vetores básicos de um espaço vetorial formam um conjunto de espaço vetorial.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial é o número cardeal de uma base de vetores para o referido espaço; isto é, o número de vetores que compõem a referida base.

Este cardeal é o número máximo de vetores linearmente independentes desse espaço vetorial e, ao mesmo tempo, o número mínimo de vetores que formam um conjunto de geração do referido espaço.

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As bases de um espaço vetorial não são únicas, mas todas as bases do mesmo espaço vetorial têm a mesma dimensão.

Subespaço vetorial

Um subespaço vetorial de um espaço vetorial V é um subconjunto de V, no qual as mesmas operações são definidas como em V e cumpre todos os axiomas do espaço vetorial. Portanto, o subespaço também será um espaço vetorial.

Exemplo de subespaço vetorial são os vetores que pertencem ao avião XY. Este subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial de dimensionalidade maior que o conjunto de vetores pertencentes ao espaço tridimensional XYZ.

Outro exemplo de subespaço vetorial S1 do espaço vetorial é formado por todas as matrizes 2 × 2 com elementos reais é o definido abaixo:

Por outro lado, o S2 definido abaixo, embora seja um subconjunto de S, não forma um subespaço vetorial:

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Sejam os vetores V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) e V3= (0, 0, 3) em r³.

a) provar que eles são linearmente independentes.

b) Prove que eles formam uma base em r³, pois qualquer lista (x, y, z) pode ser escrita como uma combinação linear de v1, v2, v3.

c) Encontre os componentes da lista V = (-3,5,4) na base V1, V2, V3.

Solução

O critério para demonstrar independência linear é estabelecer o seguinte conjunto de equações em α, β e γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

No caso de a única solução para este sistema ser α = β = γ = 0, os vetores são linearmente independentes, caso contrário, não são.

Para alcançar os valores de α, β e γ, propomos o seguinte sistema de equações:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

O primeiro leva a α = 0, o segundo α = -2 ∙ β, mas como α = 0, então β = 0. A terceira equação implica que γ = (-1/3) β, mas como β = 0 então γ = 0.

Responda para

Conclui -se que é um conjunto de vetores linearmente independentes em R³ .

Resposta b

Agora vamos escrever a lista (x, y, z) como uma combinação linear de v1, v2, v3.

(x, y, z) = α v1 + β v2 + γ v3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

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α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Onde você tem:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

O primeiro indica α = x, o segundo β = (y-x)/2 e o terceiro γ = (z- y/2 +x/2)/3. Dessa forma, encontramos os geradores de α, β e γ de qualquer lista R³ 

Resposta c

Vamos encontrar os componentes da lista V = (-3,5,4) na base V1, V2, V3.

Substituímos os valores correspondentes nas expressões encontradas acima para os geradores.

Nesse caso, temos: α = -3; β = (5-(-3))/2 = 4; γ = (4- 5/2 +(- 3)/2)/3 = 0

Quer dizer que:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Por último:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concluimos que V1, v2, v3 Eles formam uma base no espaço vetorial r³ de dimensão 3.

-Exercício 2

Polinômio expresso P (t) = T² + 4T -3 como uma combinação linear de p1 (t) = t² -2t + 5, p2 (t) = 2t² -3t e p3 (t) = t + 3.

Solução

P (t) = x p1 (t) + e p2 (t) + z p3 (t)

onde os números x, y, z devem ser determinados.

Ao multiplicar e agrupar termos com o mesmo grau em t, é obtido:

T² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

As soluções deste sistema de equações são:

x = -3, y = 2, z = 4.

Quer dizer que:

P (t) = -3 p1 (t) + 2 p2 (t) + 4 p3 (t)

-Exercício 3

Mostre esses vetores V1= (1, 0, -1, 2); V2= (1, 1, 0, 1) e V3= (2, 1, -1, 1) de r⁴ são linearmente independentes.

Solução

Nós combinamos linearmente os três vetores V1, V2, V3 E exigimos que a combinação adicione o elemento nulo de r⁴

para V1 + b V2 + c V3 = 0

Quer dizer,

A (1, 0, -1, 2) + B (1, 1, 0, 1) + C (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

A + b + 2 c = 0

B + C = 0

-A - c = 0

2 a + b + c = 0

Subtraindo o primeiro e o quarto que temos: -a + c = 0 o que implica a = c.

Mas se olharmos para a terceira equação, temos que = -C. A única maneira de conhecer a = c = (-c) é que C é 0 e, portanto, também será 0.

A = c = 0

Se substituirmos esse resultado na primeira equação, concluímos que B = 0.

Finalmente a = b = c = 0, para que possa ser concluído que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

Referências

1. Lipschutz, s. 1993. Álgebra Linear. Segunda edição. McGraw - Hill. 167 - 198.