Matemática

Fórmulas e equações de erro de amostragem, cálculo, exemplos

Fórmulas e equações de erro de amostragem, cálculo, exemplos

Ele erro de amostragem qualquer erro de amostra Nas estatísticas, é a diferença entre o valor médio de uma amostra em relação ao valor médio da população total. Para ilustrar a idéia, vamos imaginar que a população total de uma cidade é um milhão, do qual você deseja seus sapatos comuns, para os quais mil pessoas são levadas em amostra aleatória.

O tamanho médio decorrente da amostra não coincidirá necessariamente com o da população total, embora se a amostra não for tendenciosa, o valor deve estar próximo. Essa diferença entre o valor médio da amostra e o da população total é o erro de amostra.

figura 1. Como a amostra é um subconjunto da população total, a média da amostra tem uma margem de erro. Fonte: f. Zapata.

Em geral, o valor médio da população total é desconhecido, mas existem técnicas para reduzir esse erro e fórmulas para estimar o Margem de erro de amostra que será exibido neste artigo.

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Fórmulas e equações

Vamos colocar por caso, que você queira saber o valor médio de um determinado recurso mensurável x Em uma população de tamanho N, mas como N É um grande número não é viável para estudar a população total, por isso passamos a tomar um amostra Aleatory de tamanho n<.

O valor médio da amostra é indicado e o valor médio da população total indica -o para a carta grega μ (Ele lê Mu ou miu).

Suponha que eles sejam levados m Amostras totais da população N, Todo de tamanho igual n Com valores médios 1>, 2>, 3>, .. .m>.

Esses valores médios não serão idênticos um ao outro e todos estarão em torno do valor médio da população μ. Ele Margem de erro de amostra e indica a separação esperada dos valores médios em relação ao Valor médio da população μ dentro de uma porcentagem especificada chamada Nível de confiança γ (Gama).

Pode atendê -lo: aditivo inverso

Ele Margem de erro padrão ε da amostra de tamanho n é:

ε = σ/√n

onde σ é o desvio padrão (A raiz quadrada da variação), que é calculada pela seguinte fórmula:

σ = √ [(x -)2/(N - 1)]

O significado de Margem de erro padrão ε é o seguinte:

Ele valor médio obtido pela amostra de tamanho n é entendido no intervalo ( - ε, + ε) com um nível de confiança 68,3%.

Como calcular o erro de amostragem

Na seção anterior, a fórmula foi dada para encontrar o margem de erro padrão de uma amostra de n, onde a palavra padrão indica que é uma margem de erro com 68% de confiança.

Isso indica que se muitas amostras do mesmo tamanho fossem obtidas n, 68% deles fornecerão valores médios no intervalo [ - ε, + ε].

Existe uma regra simples, chamada de Regra 68-95-99.7 que nos permite encontrar a margem de Erro de amostra e Para níveis de confiança de 68%, 95% e 99,7% facilmente, uma vez que esta margem é 1⋅ε, 2vidε e 3⋅ε respectivamente.

Para um nível de confiança γ

Se ele Nível de confiança γ Não é nada disso, então o erro de amostragem é o desvio padrão σ multiplicado pelo fator Zγ, que é obtido através do seguinte procedimento:

1.- Primeiro o nível de significância α que é calculado de Nível de confiança γ Através do seguinte relacionamento: α = 1 - γ

Pode servir você: Teorema de Bayes

2.- Então você tem que calcular o valor 1 - α/2 = (1 + γ)/2, que corresponde à frequência normal acumulada entre -∞ e Zγ, Em uma distribuição normal ou gaussiana tipificada f (z), cuja definição pode ser vista na Figura 2.

3.- A equação é resolvida F (zγ) = 1 - α/2 Através das tabelas de distribuição normal (acumulado) F, o através de um aplicativo de computador que possui a função gaussiana inversa tipificada F-1.

No último caso que você tem:

Zγ = g-1(1 - α/2).

4.- Finalmente, esta fórmula para erro de amostragem com um nível de confiabilidade é aplicada γ:

E = zγ⋅(σ/√n)

Figura 2. Tabela de distribuição normal. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplos

- Exemplo 1

Calcule o Margem de erro padrão No peso médio de uma amostra de 100 recém -nascidos. O cálculo do peso médio foi = 3.100 kg com um desvio padrão σ = 1.500 kg.

Solução

Ele Margem de erro padrão é ε = σ/√n = (1.500 kg)/√100 = 0,15 kg. O que significa que, com esses dados, pode -se inferir que o peso de 68% dos recém -nascidos está entre 2.950 kg e 3.25 kg.

- Exemplo 2

Determinar a margem de erro de amostra e e a faixa de peso de 100 recém -nascidos com um nível de confiança de 95% se o peso médio for de 3.100 kg com desvio padrão σ = 1.500 kg.

Solução

Se o Regra 68; 95; 99.7 → 1⋅ε; 2vidε; 3vidε, se tem:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Em outras palavras, 95% dos recém -nascidos terão pesos entre 2.800 kg e 3.400 kg.

- Exemplo 3

Determine a faixa de pesos de recém -nascidos do Exemplo 1 com uma margem de confiança de 99,7%.

Pode servir a você: Rhomboid: Características, como tirar o perímetro e a área

Solução

O erro de amostra com 99,7% de confiança é 3 σ/√n, Isso para o nosso exemplo é e = 3 *0,15 kg = 0,45 kg. A partir daqui, deduz -se que 99,7% dos recém -nascidos terão pesos entre 2.650 kg e 3.550 kg.

- Exemplo 4

Determinar o fator Zγ Para um nível de confiabilidade de 75%. Determine a margem de erro de amostragem com este nível de confiabilidade para o caso levantado no Exemplo 1.

Solução

Ele nível de confiança é γ = 75% = 0,75 que se refere ao Nível de significância α através do relacionamento γ= (1 - α) para que o nível de significância seja α = 1 - 0,75 = 0,25.

Isso significa que a probabilidade normal acumulada entre -∞ e Zγ é:

P (z ≤ Zγ ) = 1 - 0,125 = 0,875

O que corresponde a um valor Zγ de 1.1503, como mostrado na Figura 3.

Figura 3. Determinação do fator Zγ correspondente a um nível de confiança de 75%. Fonte: f. Zapata através da Geogebra.

Em outras palavras, o erro de amostragem é E = zγ⋅(σ/√n)= 1.15⋅(σ/√n).

Quando aplicado aos dados do Exemplo 1, ele fornece um erro de:

E = 1,15*0,15 kg = 0,17 kg

Com um nível de confiança de 75%.

- Exercício 5

Qual é o nível de confiança se zα/2 = 2.4 ?

Solução

P (z ≤ zα/2 ) = 1 - α/2

P (z ≤ 2.4) = 1 - α/2 = 0,9918 → α/2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

O nível de significância é:

α = 0,0164 = 1,64%

E, finalmente, o nível de confiança permanece:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Referências

  1. Canavos, g. 1988. Probabilidade e estatística: aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. DeVore, j. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8º. Edição. Cengage.
  3. Levin, r. 1988. Estatísticas para administradores. 2º. Edição. Prentice Hall.
  4. Sudman, s.1982. Fazendo perguntas: um guia prático para o design do questionário. são Francisco. Jossey Bass.
  5. Walpole, r. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. Pearson.
  6. Wonnacott, t.H. e r.J. Wonnacott. 1990. Estatísticas introdutórias. 5ª ed. Wiley
  7. Wikipedia. Erro de amostra. Recuperado de: em.Wikipedia.com
  8. Wikipedia. Margem de erro. Recuperado de: em.Wikipedia.com