Exercícios de fatoração resolvidos

O Factoria É o procedimento algébrico pelo qual uma expressão algébrica se torna produtos de termos mais simples. Dessa forma, muitos cálculos são simplificados.

Exercícios de fatoração ajudam a entender essa técnica, que é usada muito em matemática e consiste no processo de escrever uma soma como um produto de certos termos.

figura 1.- Ao fatorar uma expressão algébrica expandida é transformada em um produto de fatores com os quais é confortável trabalhar. Fonte: f. Zapata.

Para levar em consideração adequadamente, você deve começar vendo se há letras e números em comum para cada termo. Por exemplo, a expressão 5x⁴ -10x³ + 25x², que contém três termos, pode ser um fator percebendo que o "x" é repetido em cada um, embora com poder diferente. Quanto aos coeficientes numéricos, todos são múltiplos de 5.

Então, o fator comum consiste em:

-O produto entre o divisor máximo comum dos coeficientes e

-O menor poder das letras que aparecem.

No exemplo, o fator comum é:

5x²

E a expressão permanece assim:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

O leitor pode verificar a aplicação da propriedade distributiva, que ambas as expressões são equivalentes.

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Métodos de fatoração: diferença quadrada

Nem todas as expressões algébricas estão considerando como acabamos de fazer, então aqui mostraremos como usar vários métodos com resolvido passo a passo.

Assim, com um pouco de prática, o leitor aprende a aplicar o método mais conveniente em casos como:

-Fatoração binomial e trinomial.

-Fator Polinomial.

-Cálculo das raízes polinomiais.

A imagem da Figura 1 é muito útil quando surge a pergunta: que tipo de fatoração usa para um exercício?

Começaremos com uma diferença de quadrados, para a qual a Fórmula 1 da tabela é aplicada.

- Exercício resolvido 1

Fator o binomial de 16x² - 49

Solução

Neste exemplo, o poder não é repetido e os coeficientes numéricos não são primos entre si, como no exemplo do princípio. No entanto, se for verificado que a expressão dada é um Diferença de quadrados, Fórmula 1 pode ser aplicada.

Tudo o que é necessário é identificar os termos para e b:

para² = 16x² → a = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → b = 49 = 7

Uma vez identificado, prossiga para substituir a fórmula:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Pode atendê -lo: redução de termos semelhantes

E a expressão permanece como o produto de dois fatores.

Neste e em todos os casos que seguem, o leitor pode corroborar que, se ele desenvolver o resultado com a propriedade distributiva, a expressão algébrica original será obtida de volta.

Fator de Trinomial Quadrado Perfeito

Esses casos correspondem às fórmulas 2 e 3 da Figura 1. No entanto, antes de aplicá -lo, deve -se verificar se a expressão é cumprida que:

-Dois termos são os quadrados perfeitos de para e b.

-O termo restante é o produto duplo de A e B, ou seja: 2AB.

Se o acima for verdade, é um trinômio quadrado perfeito e as fórmulas são aplicadas diretamente.

- Exercício resolvido 2

Fator trinomial: x² + 12x + 36

Solução

Essa expressão parece apropriada aplicar a Fórmula 2 na caixa, mas primeiro devemos verificar se é um trinômio quadrado perfeito. Primeiro, observa -se que o primeiro e o terceiro termo são quadrados perfeitos:

• x² É o quadrado perfeito de x, já que (x)² = x²
• 36 é o quadrado perfeito de 6, desde 6² = 36

Então:

a = x
B = 6

E, finalmente, deve -se verificar se o termo restante é 2AB e, de fato:

12x = 2⋅x⋅6

Apenas subtrai o fatoração de acordo com a fórmula:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Exercício resolvido 3

Escreva a expressão 4x² -20x + 25 em forma fatorizada.

Solução

Como existe um termo de sinal negativo, pode servir a Fórmula 3 na caixa, no entanto, antes de ser verificado, é um trinômio quadrado perfeito:

• 4x² É o quadrado 2x, já que (2x)² = 4x², Portanto a = 2x
• 25 é igual a 5², então b = 5
• O termo 20x é igual a 2⋅2x⋅5 = 20x

A fatorização permanece assim:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Soma e diferença de cubos

Quando você tem somas ou diferenças de cubos, as fórmulas 4 ou 5 se aplicam dependendo do caso.

- Exercício resolvido 4

Fatore 8x³ - 27

Solução

Temos uma diferença nos cubos aqui, portanto, extraindo a raiz cúbica de cada termo:

Então a = 2x e b = 3.

A fórmula 4 é seguida, o que é apropriado para a diferença nos cubos:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Fatoração agrupando termos

Na imagem a seguir, há um polinômio com quatro termos que devem ser fatorados. Os três primeiros termos têm "x" em comum, mas o último não. Nem podemos dizer que os coeficientes numéricos são múltiplos do mesmo fator.

Pode atendê -lo: polígono convexo: definição, elementos, propriedades, exemplos

No entanto, tentaremos agrupar os termos em duas partes com parênteses, indicados com a seta amarela: os dois primeiros termos têm em comum o "X", enquanto os dois últimos têm em comum que os coeficientes são múltiplos de 5.

Nós fatoramos esses dois grupos (Blue Arrow). Agora o leitor deve observar que, ao levar em consideração, um novo fator comum será lançado: o parêntese (3x+2).

Fator de toque pela segunda vez (seta rosa), já que (3x+2) é um fator comum de x e 5.

Figura 2. Um exemplo de como levar em consideração os termos de agrupamento. Fonte: f. Zapata.

As raízes de um polinômio

São os valores da variável que cancelam o polinômio. Se é um polinômio cuja variável é "x", como vimos, porque trata -se de encontrar os valores de x tal que, ao substituir, o valor numérico obtido é 0.

A fatoração é um método para encontrar zeros em alguns polinômios. Vejamos um exemplo:

- Exercício resolvido 5

Encontre os zeros do trinomial x² -2x - 3

Solução

Nós fatoramos o trinômio, mas este não é um trinômio quadrado perfeito. No entanto, podemos realizar um procedimento por Tanteo. Escrevemos o trinomial como o produto de dois fatores, como este:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

No primeiro parêntese, o primeiro sinal trinomial é colocado, visto da esquerda para a direita. Este é um sinal (-). No segundo parêntese, o produto dos dois sinais que aparecem após o termo com x²:

(-) x (-) = +

Dessa maneira, a fatorização será vista:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Agora você tem que procurar dois números A e B que serão colocados nos espaços em branco. Quando multiplicado deve ser 3:

• A x b = 3

E eles também devem cumprir o fato de que, quando resultado, é 2, uma vez que os sinais de parênteses são diferentes.

(Se tivessem sido sinais iguais, dois números A e B devem ser procurados para que, quando acrescentados, eles deram o coeficiente do termo com "X"). Então:

• A - b = 2

Os números que atendem às duas condições são 3 e 1, pois:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

O número mais alto é colocado nos parênteses da esquerda e a fatorização permanece a seguinte:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Os zeros do polinômio são os valores de x que cancelam cada fator:

Pode atendê -lo: até números

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

O leitor pode verificar se a substituição desses valores no trinomial original, isso é cancelado.

Outros exercícios

- Exercício resolvido 6

Fator o seguinte polinômio: p (x) = x²-1.

Solução

Nem sempre é necessário usar o solvente. Neste exemplo, um produto notável pode ser usado.

Reescrever o polinomial da seguinte.

Usando o produto notável 1, diferença de quadrados, o polinomial p (x) pode ser fatorado da seguinte forma: p (x) = (x+1) (x-1).

Isso também indica que as raízes de p (x) são x1 = -1 e x2 = 1.

- Exercício resolvido 7

Fato o seguinte polinômio: q (x) = x³ - 8.

Solução

Há um produto notável que diz o seguinte: a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²).

Sabendo disso, você pode reescrever o polinômio q (x) da seguinte maneira: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Agora, usando o produto notável descrito, a fatorização do q polinomial (x) é q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Falta a fatoração do polinômio quadrático que surgiu na etapa anterior. Mas, se observado, o notável produto número 2 pode ajudar; Portanto, a fatoração final de Q (x) é dada por q (x) = (x-2) (x+2) ².

Isso diz que uma raiz de q (x) é x1 = 2, e que x2 = x3 = 2 é a outra raiz de q (x), que é repetida.

- Exercício resolvido 8

Fature r (x) = x² - x - 6.

Solução

Quando um produto notável não pode ser detectado, ou a experiência necessária para manipular a expressão não está disponível, o uso do resolvente é procedido. Os valores são os seguintes a = 1, b = -1 e c = -6.

Ao substituí-los na fórmula, é x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

A partir daqui, são duas soluções que são as seguintes:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Portanto, o polinomial r (x) pode ser fatorado como r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Exercício resolvido 9

Fator H (x) = x³ - x² - 2x.

Solução

Neste exercício, você pode começar retirando o fator comum X e é obtido que h (x) = x (x²-x-2).

Portanto, ainda resta faticar o polinômio quadrático. Usando o solvente novamente, as raízes devem ser:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Portanto, as raízes do polinômio quadrático são x1 = 1 e x2 = -2.

Em conclusão, a fatoração do polinomial H (x) é dada por H (x) = x (x-1) (x+2).

Referências

1. Baldor. 1977. Álgebra Elementar. Edições culturais venezuelanas.
2. Raízes de um polinomial. O que são e como são calculados passo a passo. Recuperado de: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.