Fórmula das equações da primeira série, como resolvê -las, exemplo, exercícios

As Primeiro grau ou equações lineares Com um desconhecido são aqueles que podem ser expressos como a soma de dois termos, da seguinte maneira:

AX + B = 0

Onde a e b, com para ≠ 0, são números reais r ou também complexos c. Para resolvê -lo, os termos são transpostos, o que significa mudar de termos de um lado para outro de igualdade.

figura 1. Uma equação linear é y = mx + c de forma com y = 0. Fonte: pxhere.

Para limpar o desconhecido, o termo +b é transposto, que deve ir para o lado direito da igualdade com um sinal alterado.

ax = -b

Então o valor de x é limpo, desta maneira:

x = - b/a

Como exemplo, resolveremos a seguinte equação:

6x - 5 = 4

Transpoímos o termo -5 para o lado direito com um sinal alterado:

6x = 4 + 5

Isso é equivalente a adicionar 5 em ambos os lados da equação original:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

E agora limpamos o desconhecido "X":

x = 9/6 = 3/2

O que equivale a dividir os dois lados da igualdade por 6. Para que possamos avaliar o seguinte para obter a solução:

-A mesma quantidade pode ser adicionada ou subtraída nos dois lados da igualdade em uma equação, sem alterá -la.

-Você também pode multiplicar (ou dividir) a mesma quantidade para todos os termos, tanto à esquerda quanto à direita da equação.

-E se ambos os membros de uma equação subirem ao mesmo poder, a igualdade também não é alterada.

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Como resolver equações de primeiro grau

A solução de uma equação de primeiro grau também é conhecida como a raiz do mesmo. É o valor de x que converte a expressão original em uma igualdade. Por exemplo em:

5x = 8x - 15

Se substituirmos x = 5 nesta equação, é obtido:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40 - 15

25 = 25

Como as equações lineares de primeiro grau são de várias maneiras, que às vezes não são evidentes, há uma série de regras gerais que compreendem várias manipulações algébricas, a fim de encontrar o valor do desconhecido:

-Primeiro, se houver operações indicadas, elas devem ser realizadas.

-Agrupando símbolos como parênteses, colchetes e chaves, se houver, devem ser suprimidos mantendo os sinais apropriados.

-Os termos são transpostos para colocar todos aqueles que contêm o desconhecido para um único lado da igualdade, e aqueles que não o contêm ao outro.

-Então todos os termos semelhantes são reduzidos, para atingir a forma ax = -b.

-E o último passo é limpar o desconhecido.

Interpretação gráfica

A equação de primeiro grau levantada no início pode ser derivada da equação da linha y = mx+c, fazendo y = 0. O valor de x que resulta corresponde à interseção da linha com o eixo horizontal.

Na figura seguinte, você tem três linhas. Começando com a linha verde, cuja equação é:

Pode atendê -lo: fatorização

y = 2x - 6

Fazendo y = 0 Na linha da linha, a equação de primeiro grau é obtida:

2x - 6 = 0

Cuja solução é x = 6/2 = 3. Agora, quando detalharmos o gráfico, é fácil perceber que, na verdade, a linha corta no eixo horizontal em x = 3.

A linha azul cruza o eixo x em x = 5, que é a solução para a equação -x + 5 = 0. Finalmente, a linha cuja equação é y = 0.5x + 2 corte no eixo x em x = -4, que é facilmente avisado sobre a equação de primeiro grau:

0.5 x + 2 = 0

x = 2/0.5 = 4

Figura 2. Três linhas cujas cruzamentos com o eixo horizontal correspondem a equações lineares. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplos de equações lineares simples   

Equações inteiras

Eles são aqueles em cujos termos não há denominadores, por exemplo:

21 - 6x = 27 - 8x

Sua solução é:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Equações fracionárias

Essas equações contêm pelo menos um denominador diferente de 1. Para resolvê -los, é aconselhável.

A seguinte equação é o tipo fracionário:

Os denominadores são 6, 8 e 12 e seu múltiplo comum mínimo, indicado como M.c.M (6, 8,12) é o menor dos números que contêm esses denominadores.

Como esses números são pequenos, não é difícil ver que M.c.M (6, 8,12) = 24. Este resultado é facilmente obtido expressando números como um produto de números primos ou seus poderes, vamos ver:

6 = 3.2

8 = 2³

12 = 2²⋅3

O múltiplo comum mínimo é determinado multiplicando os fatores comuns e não comuns de 6, 8 e 12 com seu maior expoente e, em seguida,:

MCM (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Como o múltiplo comum mínimo está disponível, ele deve ser multiplicado por cada um dos termos da equação:

Dessa maneira, os denominadores são suprimidos e há uma equação com produtos, mais fácil de resolver:

4 (x+5) -3 (2x+3) = 2 (1-5x)

Utilizamos propriedades distributivas:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Todos os termos que contêm o desconhecido "X" são agrupados no lado esquerdo da igualdade, deixando os termos independentes ou numéricos do lado direito:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Equações literais

São equações lineares com um desconhecido, que, no entanto, são acompanhados por coeficientes literais (letras). Essas cartas são tratadas exatamente como seria feito com os números. Um exemplo de uma equação literal de primeiro grau é:

-3ax + 2a = 5x - b

Esta equação é resolvida da mesma maneira que se os termos e coeficientes independentes fossem numéricos:

-3ax - 5x = - b - 2a

Considerando o desconhecido "X":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = ( - b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Sistemas de equações de primeiro grau 

Os sistemas de equações consistem em um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. A solução do sistema consiste em valores que satisfazem as equações simultaneamente e para determinar inequivocamente, deve haver uma equação para cada incógnita.

Pode servir você: álgebra vetorial

A forma geral de um sistema de m Equações lineares com n desconhecido é:

para_onzex₁ + para₁₂x₂ +… para_1nx_n = b₁
para_{vinte e um}x₁ + para₂₂x₂ +… para_2nx_n = b₂
..
para_M1x₁ + para_M2x₂ +… para_mnx_n = b_m

Se o sistema tiver uma solução, diz -se que é determinado compatível, Quando há um conjunto infinito de valores que o satisfaz Compatível indeterminado, E finalmente, se não tiver solução, então é incompatível.

Na resolução dos sistemas de equações lineares, vários métodos são usados: redução, substituição, equalização, métodos gráficos, eliminação de gauss-jordan e o uso de determinantes estão entre os mais utilizados. Mas existem outros algoritmos para alcançar a solução, mais conveniente para sistemas com muitas equações e incógnitas.

Um exemplo de um sistema de equações lineares com duas incógnitas é:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

A solução deste sistema é enviada posteriormente na seção Exercícios resolvidos.

Equações lineares com valor absoluto

O valor absoluto de um número real é a distância entre sua localização na linha numérica e o 0 do mesmo. Sendo uma distância, seu valor é sempre positivo.

O valor absoluto de um número é indicado por barras de módulo: │x│. O valor absoluto de um número positivo ou negativo é sempre positivo, por exemplo:

│+8│ = 8

│-3│ = 3

Em uma equação com valor absoluto, o desconhecido está entre as barras do módulo. Considere a seguinte equação simples:

│x│ = 10

Existem duas possibilidades, a primeira é que X é um número positivo; nesse caso, temos:

x = 10

E a outra possibilidade é que X é um número negativo, neste caso:

x = -10

Estas são as soluções desta equação. Agora vamos ver um exemplo diferente:

│x+6│ = 11

A quantidade dentro das barras pode ser positiva, então:

x+6 = 11

x = 11 -6 = 5

Ou pode ser negativo. Em tal caso:

-(x+6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11+6 = 17

E o valor do desconhecido é:

x = -17

Esta equação de valor absoluto, portanto, possui duas soluções: x₁ = 5 e x₂ = -17. Podemos verificar se ambas as soluções levam à igualdade na equação original:

│5+6│ = 11

│11│ = 11

E

│-17+6│ = 11

│-11│ = 11

Exercícios simples resolvidos

- Exercício 1

Resolva o seguinte sistema de equações lineares com duas incógnitas:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Solução

Como esse sistema é elevado, é adequado para usar o método de substituição, pois na segunda equação o desconhecido x Está quase pronto para a liberação:

x = (3y + 6)/6

Pode servir você: algébrica

E você pode substituir imediatamente a primeira equação, que se torna uma equação de primeira grau com desconhecido "y":

8 [(3y + 6)/6] - 5 = 7y - 9

O denominador pode ser suprimido se cada termo for multiplicado por 6:

6 . 8⋅ [(3y + 6)/6] - 6.5 = 6 .7y- 6 . 9

8⋅ (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Aplicando propriedade distributiva no primeiro mandato ao direito de igualdade:

24y + 48 -30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

A equação pode ser simplificada, pois todos os coeficientes são múltiplos de 6:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Com este resultado, vamos para a liberação de x:

x = (3y +6)/6 → x = (12 +6)/6 = 3

- Exercício 2

Resolva a seguinte equação:

Solução

Nesta equação, os produtos aparecem e, seguindo as instruções dadas no início, eles devem ser desenvolvidos primeiro:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Em seguida, todos os termos que contêm as incógnitas são transportados para o lado esquerdo da igualdade e, do lado direito, os termos independentes serão:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Exercício 3

Ao adicionar os três ângulos internos de um triângulo, 180º é obtido. O maior excede a criança em 35º, e isso, por sua vez, excede em 20º a diferença entre o maior e o meio. Quais são os ângulos?

Solução

Vamos ligar para "x" para o maior ângulo, "y" para o meio e "z" para a criança. Quando a declaração afirma que a soma deles é 180º, você pode escrever:

x + y + z = 180

Então sabemos que o mais antigo excede a criança em 35º, podemos escrever isso:

X = z + 35

Finalmente, a criança excede 20 º para a diferença entre o maior e o meio:

Z = x - y + 20

Temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:

x + y + z = 180

X = z + 35

Z = x - y + 20

Ao limpar a primeira equação, você tem:

Z = 180 - x - y

Combinando o terceiro:

180 - x - y = x - y + 20

Passando as incógnitas para o lado esquerdo como sempre:

-x - y - x + y = 20 - 180

O "Y" é cancelado e permanece:

-2x = - 160

x = 80º

A segunda equação é o valor de z:

Z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

E o valor de e é do primeiro ou terceiro:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Referências

1. Baldor. 1977. Álgebra Elementar. Edições culturais venezuelanas.
2. Instituto Monterey. Equações, desigualdades e valor absoluto. Recuperado de: MontereyInstitute.org.
3. Professor online. Classificação de equações lineares ou de primeiro grau. Recuperado de: Professor Inline.Cl.
4. Hoffman, J. Seleção de questões de matemática. Volume 2.
5. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
6. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.