Decomposição aditiva

O decomposição aditiva de um número inteiro positivo é expressá -lo como uma soma de dois ou mais números positivos. Assim, temos que o número 5 pode expressá -lo como 5 = 1+4, 5 = 2+3 ou 5 = 1+2+2. Cada uma dessas maneiras de escrever o número 5 é o que chamaremos de decomposição aditiva.

Se prestarmos atenção, podemos ver que as expressões 5 = 2+3 e 5 = 3+2 representam a mesma composição; Ambos têm os mesmos números. No entanto, apenas para uma questão de conforto geralmente é escrito, cada um dos anúncios seguindo os critérios do menos a maior.

Decomposição aditiva

Como outro exemplo, podemos levar o número 27, que podemos expressá -lo como:

27 = 7+10+10

27 = 9+9+9

27 = 3+6+9+9

27 = 9+18

A decomposição aditiva é uma ferramenta muito útil que nos permite fortalecer nosso conhecimento sobre os sistemas de numeração.

Decomposição aditiva canônica

Quando temos um número de mais de dois números, uma forma específica de decompor está nos múltiplos de 10, 100, 1000, 10.000 etc., que inventam. Essa maneira de escrever qualquer número é chamado de decomposição aditiva canônica. Por exemplo, o número 1456 pode decompô -lo da seguinte maneira:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Se tivermos o número 20 846 295, sua decomposição aditiva canônica será:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Graças a esta decomposição, podemos ver que o valor de um determinado dígito é dado pela posição que ocupa. Vamos dar como exemplo os números 24 e 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Aqui podemos ver que em 24 o 2 tem um valor de 20 unidades e em 4 um valor de 4 unidades; Por outro lado, em 42 os 4 têm um valor de 40 unidades e 2 de duas unidades. Assim, embora ambos os números usem os mesmos dígitos, seus valores são totalmente diferentes pela posição que ocupam.

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Formulários

Uma das aplicações que podemos dar à decomposição aditiva é em certos tipos de demonstrações, nas quais é muito útil ver um número inteiro positivo como a soma de outros.

Teorema de exemplo

Vamos dar como exemplo o teorema a seguir com suas respectivas demonstrações.

- Ser z um número inteiro de 4 dígitos, então z é divisível por 5 se sua figura correspondente às unidades for zero ou cinco.

Demonstração

Vamos lembrar o que é divisibilidade. Se tivermos números inteiros "A" e "B", dizemos que "A" divide "B" se houver um número inteiro "C" de modo que B = A*C.

Uma das propriedades da divisibilidade nos diz que se "a" e "b" for divisível entre "c", então a subtração "a-b" também é.

Seja z um número inteiro de 4 dígitos; Portanto, podemos escrever para z e z = abcd.

Usando a decomposição aditiva canônica que precisamos:

Z = a*1000 + b*100 + c*10 + d

É claro que A*1000 + B*100 + C*10 é divisível entre 5. É por isso que temos que z é divisível entre 5 se z - (a*1000 + b*100 + c*10) é divisível entre 5.

Mas z - (a*1000 + b*100 + c*10) = d e d é um número de figura única, então a única maneira de ser divisível entre 5 é que é 0 ou 5.

Portanto, z é divisível entre 5 se d = 0 ou d = 5.

Observe que se z tiver n dígitos, a demonstração é exatamente a mesma, isso só muda que agora escreveremos z = a₁PARA₂… PARA_n E o objetivo seria provar que_n é zero ou cinco.

Partições

Dizemos que uma partição de um número inteiro positivo é uma maneira pela qual podemos escrever um número como uma soma de números inteiros positivos.

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A diferença entre uma decomposição aditiva e uma partição é que, enquanto no primeiro é procurado que pelo menos possa ser dividido em dois ou mais, na partição nesta restrição.

Assim nós temos o seguinte:

5 = 5

5 = 1+4

5 = 2+3

5 = 1+2+2

Os acima são partições de 5.

Ou seja, temos que toda a decomposição aditiva é uma partição, mas nem toda a partição é necessariamente uma decomposição aditiva.

Na teoria dos números, o teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro possa ser escrito exclusivamente como um produto de primos.

Quando as partições são estudadas, o objetivo é determinar quantas maneiras pelas quais um número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de outros números inteiros. Portanto, definimos a função de partição, conforme apresentado abaixo.

Definição

A função P (n) da partição é definida como o número de maneiras pelas quais um número inteiro positivo N pode ser escrito como uma soma de números inteiros positivos.

Voltando ao exemplo de 5, temos que:

5 = 5

5 = 1+4

5 = 2+3

5 = 1+1+3

5 = 1+2+2

5 = 1+1+1+2

5 = 1+1+1+1+1

Dessa maneira, p (5) = 7.

Gráficos

Ambas partições e decomposições aditivas de um número n podem ser representadas geometricamente.  Suponha que tenhamos uma decomposição aditiva de n. Nesta decomposição, os adendos podem ser corrigidos para que os membros da soma sejam ordenados do menos a maior. Então, vale a pena:

n = a₁ + para₂ + para₃ +… + A_r com

para₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ A_r.

Podemos representar o gráfico da referida decomposição da seguinte forma: em uma primeira linha, marcamos o a₁-pontos, então, a seguir, marcamos₂-pontos, e assim por diante até chegar_r.

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Vamos tomar como exemplo o número 23 e sua próxima decomposição:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Pedimos esta decomposição e temos:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Seu gráfico correspondente seria:

Da mesma forma, se lermos este gráfico verticalmente em vez de horizontalmente, podemos obter uma decomposição que é possivelmente diferente do anterior. No exemplo dos 23, o seguinte se destaca:

Então, temos que 23 também podemos escrever como:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.