Comprimento da corda (geometria), teorema e exercícios

A corda, Na geometria plana, é o segmento de linha que se junta a dois pontos de uma curva. Dizem que a linha que contém este segmento é uma linha de secagem para a curva. Muitas vezes é uma circunferência, mas você certamente pode atrair cordas para muitas outras curvas, como elipses e parábolas.

Na Figura 1, à esquerda, há uma curva, para a qual os pontos A e B pertencem. A corda entre A e B é o segmento verde. À direita está uma circunferência e uma de suas cordas, pois é possível rastrear infinito.

figura 1. À esquerda, a corda de uma curva arbitrária e à direita a corda de um círculo. Fonte: Wikimedia Commons.

Na circunferência, seu diâmetro é particularmente interessante, o que também é conhecido como Corda principal. É uma corda que sempre contém o centro da circunferência e mede o dobro do raio.

A figura a seguir é representada pelo raio, diâmetro, uma corda e também o arco de um círculo. Identificar corretamente cada um é importante ao resolver problemas.

Figura 2. Elementos da circunferência. Fonte: Wikimedia Commons.

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Comprimento de corda de uma circunferência

Podemos calcular o comprimento da corda em um círculo a partir das Figuras 3a e 3b. Observe que um triângulo é sempre formado com dois lados iguais (isósceles): os segmentos OA e OB, que medem r, o raio da circunferência. O terceiro lado do triângulo é o segmento AB, chamado C, que é precisamente o comprimento da corda.

É necessário desenhar uma linha perpendicular à corda C para corrigir no ângulo θ que existe entre os dois rádios e cujo vértice é o centro ou a circunferência. Este é um ângulo central -Porque seu vértice é o centro e a linha bissetorial também é um secante para a circunferência.

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Imediatamente dois retângulos são formados, cuja hipotenusa. Desde o bissetor, e com ele o diâmetro, se divide em duas partes iguais à corda, acontece que uma das pernas é metade de C, como indicado na Figura 3b.

Da definição do peito de um ângulo:

sin (θ/2) = oposto/hipotenusa cateto = (c/2)/r

Portanto:

sin (θ/2) = c/2r

C = 2r sen (θ/2)

Figura 3. O triângulo formado por dois rádios e uma corda de circunferência é isósceles (Figura 3), pois tem dois lados iguais. O bissetor o divide em dois retângulos triângulos (Figura 3b). Fonte: preparado por f. Zapata.

Teorema da String 

O teorema da string diz:

Se houver duas cordas se cruzarem em um ponto, o produto do comprimento dos segmentos que aparecem em uma das cordas é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos que são definidos na outra corda.

A figura a seguir mostra duas cordas da mesma circunferência: AB e CD, que se cruzam no ponto P. Na corda AB, os segmentos AP e Pb são definidos, enquanto CP e PD são definidos no CD Rope. Então, de acordo com o teorema:

AP . Pb = cp . P.S

Figura 4. O teorema da corda de uma circunferência. Fonte: f. Zapata.

Exercícios de cordas resolvidas

- Exercício 1

Um círculo tem uma corda de 48 cm, que é de 7 cm do centro. Calcule a área do círculo e o perímetro da circunferência.

Solução  

Para calcular o círculo de uma área, basta conhecer o raio da circunferência para o quadrado, pois é cumprido:

A = π.R²

Agora, a figura formada com os dados fornecidos é um triângulo retângulo, cujas pernas são 7 e 24 cm, respectivamente.

Figura 5. Geometria para o Exercício 1 Resolvido 1. Fonte: f. Zapata.

Portanto, para encontrar o valor de r² O teorema de Pitágoras C é aplicado diretamente² = a² + b², Como R é a hipotenusa do triângulo:

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R² = (7 cm)² + (24 cm)² = 625 cm²

Então a área solicitada é:

A = π. 625 cm² = 1963.5 cm²

Quanto ao perímetro ou comprimento l da circunferência, ele é calculado por:

L = 2π. R

Substituindo valores:

R = √625 cm² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Exercício 2

Determine o comprimento da corda de um círculo cuja equação é:

x² + e² - 6x - 14y -111 = 0

Sabe -se que as coordenadas do ponto médio da corda são p (17/2; 7/2).

Solução

O ponto médio da corda P não pertence à circunferência, mas os pontos extremos da corda sim. O problema pode ser resolvido por meio do teorema de Strings declarado anteriormente, mas primeiro é conveniente.

Etapa 1: Obtenha a equação canônica da circunferência

A equação canônica da circunferência com o centro (h, k) é:

(X-h)² + (e que)² = R²

Para obtê -lo, é necessário completar quadrados:

(x² - 6x) + (e² - 14y) -111 = 0

Observe que 6x = 2.(3x) e 14y = 2.(7y), para que a expressão anterior seja reescrita assim, sendo inalterada:

(x² - 6x+3²-3²) + (e² - 14y+7²-7²) -111 = 0

E agora, lembrando a definição de produto notável (A-B)² = a² - 2AB + b² Pode ser escrito:

(X - 3)² - 3² + (e - 7)² - 7² - 111 = 0

= (x - 3)² + (e - 7)² = 111 + 3² + 7² → (x - 3)² + (e - 7)² = 169

A circunferência tem um centro (3,7) e rádio r = √169 = 13. A figura a seguir mostra o gráfico da circunferência e as cordas que serão usadas no teorema:

Pode atendê -lo: quais são os 7 elementos da circunferência?Figura 6. Gráfico da circunferência do exercício resolvido 2. Fonte: f. Zapata através da calculadora gráfica online Mathway.

Etapa 2: determine os segmentos a serem usados ​​no teorema de string

Os segmentos a serem usados ​​são os CD e AB Strings, de acordo com a Figura 6, ambos são cortados no ponto P, portanto:

Cp . PD = AP. PB

Agora vamos encontrar a distância entre os pontos O e P, pois isso nos dará a duração do segmento de operações. Se adicionarmos o raio a esse comprimento, teremos o segmento CP.

A distância d_Op Entre dois pontos de coordenadas (x₁,e₁) e (x₂,e₂) é:

d_Op² = Op² = (x₂ - x₁)² + (e₂ - e₁)² = (3- 17/2)² + (7-7/2)² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d_Op = Op = √170 /2

Com todos os resultados obtidos, além do gráfico, construímos a seguinte lista de segmentos (veja a Figura 6):

Co = 13 cm = r

Op = √170 /2 cm

Cp = op + r = 13 + √170 /2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 /2 cm

AP = PB

2.AP = comprimento da corda

Substituindo no teorema da string:

Cp . PD = AP . PB = [(13 +√170 /2) . (13 -√170 /2) = AP²

[169-170/4] = AP²

253/2 = AP²

AP = √ (253/2)

O comprimento da corda é 2.AP = 2 (√253/2) = √506

O leitor poderia resolver o problema de outra maneira?

Referências

1. Baldor, a. 2004. Geometria plana e espacial com trigonometria. Publicações culturais s.PARA. claro.V. México.
2. C-K12. Quadro de um acorde. Recuperado de: CK12.org.
3. Escobar, j. A circunferência. Recuperado de: matemática.você.Edu.co.
4. Villena, m. Cônico. Recuperado de: dspace.Espol.Edu.EC.
5. Wikipedia. Corda (geometria). Recuperado de: é.Wikipedia.org.