Propriedades de conjunto infinito, exemplos

É entendido por Conjunto infinito aquele definido no qual o número de seus elementos é incontável. Isto é, independentemente do tamanho do número de seus elementos, é sempre possível encontrar mais.

O exemplo mais comum de um conjunto infinito é o de números naturais N. Não importa o tamanho do número, pois você sempre pode obter um maior em um processo que não tem fim:

N  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 17, 18, 19, 20, ..., 41, 42, 43. . .,100, 101,…, 126, 127, 128,…

figura 1. Símbolo do infinito. (Pixabay)

O conjunto de estrelas do Universo é certamente imenso, mas não é conhecido com certeza se é finito ou infinito. Em contraste com o número de planetas do sistema solar que é conhecido por ser um conjunto finito.

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Propriedades do conjunto infinito

Entre as propriedades dos conjuntos infinitos, podemos apontar o seguinte:

1- A união de dois conjuntos infinitos dá origem a um novo conjunto infinito.

2- A união de um conjunto finito com um infinito dá origem a um novo conjunto infinito.

3- Se o subconjunto de um determinado conjunto for infinito, o conjunto original também será. A declaração recíproca não é verdadeira.

Você não pode encontrar um número natural capaz de expressar a cardinalidade ou o número de elementos de um conjunto infinito. No entanto, o matemático alemão Georg Cantor introduziu o conceito de número de transfinita para se referir a uma ordinal infinita maior do que qualquer número natural.

Exemplos

Os nativos n

O exemplo mais frequente de um conjunto infinito é o de números naturais. Os números naturais são o que são usados ​​para contar, no entanto, todos os números que podem existir são incontáveis.

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O conjunto de números naturais não inclui zero e é comumente denotado como o conjunto N, que é extensivamente expresso da seguinte maneira:

N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . E é claramente um conjunto infinito.

Os pontos suspeitos são usados ​​para indicar que, após um número, outro é seguido e depois outro em um processo infinito ou sem fim.

O conjunto de números naturais anexados ao conjunto que contém o número zero (0) é conhecido como conjunto N+.

N+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. . Qual é o resultado da união do conjunto infinito N Com o conjunto finito QUALQUER = 0, resultando no conjunto infinito N+.

Os números inteiros z

O conjunto de números inteiros Z É composto de números naturais, números naturais com um sinal negativo e zero.

Os números inteiros Z Eles são considerados uma evolução em relação aos números naturais N usado originalmente e primitivo no processo de contagem. 

No conjunto numérico Z O zero é incorporado dos números inteiros para contar ou contar qualquer coisa e os números negativos para explicar a extração, perda ou falta de algo.

Para ilustrar a ideia, suponha que na conta bancária exista um saldo negativo. Isso significa que a conta está abaixo de zero e não é apenas que a conta está vazia, mas que tem uma diferença ausente ou negativa, que de alguma forma precisa se recuperar no banco.

Estendeu o conjunto infinito Z De todo o número que está escrito assim:

Z = … ., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

O q racional

Na evolução do processo de contagem e troca de coisas, bens ou serviços, números fracionários ou racionais aparecem.

Por exemplo, na troca de pão médio com duas maçãs, no momento de trazer o registro da transação, alguém veio com essa metade deve ser escrito como um dividido ou seccionado em duas partes: ½. Mas metade da metade do pão seria registrada nos livros de contabilidade da seguinte forma: ½ / ½ = ¼.

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É claro que esse processo de divisão pode ser infinito em teoria, embora na prática seja até que a última partícula de pão seja alcançada.

O conjunto de números racionais (ou fracionários) é indicado da seguinte maneira:

Q = …, -3,… ., -2,…, -1,…, 0,…, 1,…, 2,…, 3,…

Os pontos suspeitos entre os dois números inteiros significam que, entre esses dois números ou valores, existem partições ou divisões infinitas. É por isso que se diz que o conjunto de números racionais é infinitamente denso. Isso ocorre porque, independentemente de quão próximos dois números racionais podem estar entre eles, valores infinitos podem ser encontrados.

Para ilustrar o exposto, suponha que se pedem para encontrar um número racional entre 2 e 3. Esse número pode ser 2⅓, o que é conhecido como um número misto que consiste em 2 partes inteiras mais um terço da unidade, que é equivalente a escrever 4/3.

Entre 2 e 2⅓, outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅙. E entre 2 e 2⅙ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅛. Entre esses dois outros, e entre eles outro, outro e outro.

Figura 2. Divisões infinitas em números racionais. (Wikimedia Commons)

Números irracionais i

Existem números que não podem ser escritos como divisão ou fração de dois números inteiros. É esse conjunto numérico conhecido como conjunto I de números irracionais e também é um conjunto infinito.

Alguns elementos notáveis ​​ou representantes deste conjunto numérico são o número Pi (π), o número Euler (e), A proporção de ouro ou número de ouro (φ). Esses números só podem ser escritos aproximadamente por um número racional:

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π = 3.1415926535897932384626433832795… (e continue até o infinito e além…)

e = 2.7182818284590452353602874713527… .(E continue além do infinito ...)

φ = 1.61803398874989484820 ... (para o infinito ... e além ...)

Outros números irracionais aparecem ao tentar encontrar soluções para equações muito simples, por exemplo, a equação x^2 = 2 não tem solução racional exata. A solução exata é expressa pela seguinte simbologia: x = √2, que lê equis igual como resultado de dois. Uma expressão racional aproximada (ou decimal) de √2 é:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097. 

Existem inúmeros números irracionais, √3, √7, √11, 3^(⅓), 5^(⅖) para citar alguns.

O conjunto de Royal R

Números reais é o conjunto numérico que é mais frequentemente usado no cálculo matemático, em física e engenharia. Este conjunto numérico é a união de números racionais Q e números irracionais Yo:

R = Q OU Yo

Infinidade

Entre os conjuntos infinitos, alguns são maiores que outros. Por exemplo, o conjunto de números naturais N É infinito, no entanto, é um subconjunto de números inteiros Z que também é infinito, portanto o conjunto infinito Z é maior que o conjunto infinito N.

Da mesma forma, conjunto de números inteiros Z É um subconjunto de números reais R, e, portanto, o conjunto R É "mais infinito" do que o conjunto infinito Z.

Referências

1. Celebrar. Exemplos de conjuntos infinitos. Recuperado de: Celebrima.com
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9. Wikipedia. Conjunto infinito. Recuperado de: é.Wikipedia.com