Características, exemplos e exercícios de vetores concorrentes

O vetores simultâneos Eles são os grupos de vetores cujos eixos coincidem em um ponto, formando -se entre cada par deles um ângulo interno e externo. Um exemplo claro é observado na figura inferior, onde A, B e C são vetores concorrentes.

D e E, diferentemente do resto, não são. Existem ângulos formados entre vetores simultâneos AB, AC e CB. Ângulos de relacionamento entre vetores são chamados.

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Caracteristicas

-Eles têm um ponto comum, que coincide com sua origem: todas as magnitudes dos vetores simultâneos começam de um ponto comum para seus respectivos extremos.

-A origem é considerada como o ponto de ação vetorial: um ponto de ação deve ser estabelecido que será diretamente afetado por cada um dos vetores simultâneos.

-Seu domínio no avião e espaço é R² e r³ respectivamente: vetores concorrentes são livres para cobrir todo o espaço geométrico.

-Permite diferentes notações no mesmo grupo de vetores. De acordo com os ramos do estudo, diferentes notações estão presentes nas operações com vetores.

Tipos de vetores

O ramo dos vetores tem várias subdivisões, entre alguns que eles podem ser nomeados: os coplanarios paralelos, perpendiculares, correspondentes, opostos e unitários. Os vetores simultâneos aparecem nesta lista e, como todos os designados anteriormente, eles têm muitas aplicações em diferentes ciências.

Eles são muito comuns no estudo vetorial, porque representam uma generalização lucrativa nas operações com eles. Tanto no avião quanto no espaço, os vetores simultâneos são para uso atual para a representação de diferentes elementos e estudam sua influência em um sistema específico.

Notação vetorial

Existem várias maneiras de representar um elemento vetorial. Os principais e mais conhecidos são:

cartesiano

Proposto por essa mesma abordagem matemática, denota vetores com uma lista correspondente às magnitudes de cada eixo (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Espaço A: (1, 1) Plano

Polar

Eles servem apenas para denotar vetores no avião, embora no cálculo integral o componente de profundidade seja atribuído. Consiste em uma magnitude linear r e um ângulo em relação ao eixo polar Ɵ.

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A: (3, 45⁰ ) Plano A: (2, 45⁰ , 3) Espaço

Analítico

Defina as magnitudes do vetor através dos versores. Os versores (R&E + K) representam os vetores da unidade correspondentes aos eixos X, y e

A: 3i + 2j - 3k

Esférico

Eles são semelhantes à notação polar, mas com a adição de um segundo ângulo que varre o avião XY simbolizado por δ.

A: (4, 60^qualquer , π/4)

Operações com vetores simultâneos

Os vetores simultâneos são usados ​​principalmente para definir operações entre vetores, porque é mais fácil comparar os elementos dos vetores quando ocorrem de uma maneira simultânea.

Soma (a + b)

A soma dos vetores simultâneos visa encontrar o vetor resultante V_r. Que, de acordo com o ramo do estudo, corresponde a uma ação final

Por exemplo: 3 cordas estão amarradas a, b, c a uma caixa, cada extremidade da corda está nas mãos de um sujeito. Cada um dos 3 sujeitos deve puxar a corda em uma direção que não seja a outra 2.

A: (AX, AY, AZ) B: (BX, por, Bz) C: (CX, CY, CZ)

A+b+c = (ax+bx+cx; ay+por+cy; az+bz+cz) = V_r

A caixa só pode se mover em uma direção, portanto V_r indicará a direção e a sensação do deslocamento da caixa.

Diferença (a - b)

Existem muitos critérios em relação à diferença entre os vetores, muitos autores optam por excluí -lo e afirmam que apenas a soma entre vetores é estipulada, onde a diferença é a soma do vetor oposto. A verdade é que os vetores algebricamente podem ser subtraídos.

A: (AX, AY, AZ) B: (BX, por, BZ)

A-b = a + (-b) = (ax-bx; ay-be; az-bz) = [ax + (-bx); ay + (-by); AZ + (-BZ)]

Produto escalar (A . B)

Também conhecido como produto Punto, gera um valor escalar que pode estar relacionado a várias magnitudes de acordo com a filial do estudo.

Para a geometria indica a área do paralelogramo formada pelo par de vetores simultâneos através do método do paralelogramo. Para a física mecânica define o trabalho realizado por uma força F Movendo um corpo uma distância Δr.

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wie = f . Δr

Como o nome indica, ele gera um valor escalar e é definido da seguinte forma:

Sejam os vetores A e B

A: (AX, AY, AZ) B: (BX, por, BZ)

-Formulário analítico:

( PARA . B) = | a |.| B |.Cos θ

Onde θ é o ângulo interno entre os dois vetores

-Formulário algébrico:

( PARA . B) = (AX.Bx + ay.por + az.BELEZA)

Produto vetorial (A X B)

O produto vetor ou ponto entre dois vetores define um terceiro vetor C que tem a qualidade de ser perpendicular a B e C. Em física define o torque vetorial τ Elemento base da dinâmica rotacional.

-Formulário analítico:

| A X B | = | A |.| B |.Sin θ

-Formulário algébrico:

(A X B) = = (AX . por - ay . BX)- (AX . BZ - AZ . bx) J + (Machado . por - ay . bx) k

-Movimento relativo: r_A/b

A base da relatividade é o movimento relativo e os vetores simultâneos são a base do movimento relativo. Você pode deduzir posições, velocidades e acelerações relativas aplicando a seguinte ordem de idéias.

r _A/b = r_PARA - r_B    ; Posição relativa em relação a B

v _A/b = v_PARA - v_B  ; Velocidade relativa de respeito a B

para _A/b = a_PARA - para_B  ; Aceleração relativa de respeito a B

Exemplos: exercícios resolvidos

Exercício 1

Deixe A, B e C vetores concorrentes.

A = (-1, 3, 5) b = (3, 5, -2) c = (-4, -2, 1)

-Defina o vetor resultante V_r = 2a - 3b + c

2a = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3b = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V_r = 2a + (-3b) + c = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V_r = ([-2+(-9)+(-4)]; [6+(-15)+(-2)]; (10+6+1))

V_r = (-15, -11, 17)

-Defina o produto escalar (A . C)

( PARA . C) = (-1, 3, 5) . (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 -6 + 5

( PARA . C) = 3

-Calcule o ângulo entre A e C

( PARA . C) = | A |.| C |.Cos θ onde θ é o ângulo mais curto entre os vetores

θ = 88,63⁰

 -Encontre um vetor perpendicular a A e B

Para isso, é necessário definir o produto vetorial entre (-1, 3, 5) e (3, 5, -2). Como explicado anteriormente, uma matriz de 3 x 3 é construída onde a primeira linha é composta pela lista de vetores unitários (i, j, k). Em seguida, a 2ª e a 3ª linha é composta pelos vetores a serem operados, respeitando a ordem operacional.

Pode atendê -lo: notação decimal

(A X B) = = [(-1) . 5 - (3 . 3)] Yo  - [(-1) . (-2) - (5 . 3)] J + [(-1) . 5 - (3 . 3)] k

(A X B) = (-5 - 9) Yo - (2 - 15) J + (-5 - 9) k         

(A X B) =  -14 i + 13 j - 14 k

Exercício 2 

Deixe v_para e V_b Os vetores de velocidade de A e B, respectivamente. Calcule a velocidade B de um.

V_para = (3, -1, 5) V_b = (2, 5, -3)

Nesse caso, a velocidade relativa de B é solicitada de V_BA

V_BA = V_B - V_PARA

V_BA = (2, 5, -3) -(3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Este é o vetor Veloc de B visto de um. Onde um novo vetor da velocidade B é descrito por referência de um observador posicionado em A e movendo -se com a velocidade de um.

Exercícios propostos

1 Construção 3 Vetores A, B e C que são simultâneos e relacionam 3 operações entre eles através de um exercício prático.

2 -VECTORES A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) e C: (-2, -1, 10). Encontre vetores perpendiculares para: A e B, C e B, Soma A + B + C.

4 vetores de determinação 3 que são perpendiculares um ao outro, sem levar em consideração os eixos de coordenadas.

5 define o trabalho realizado por uma força que levanta um bloco de 5 kg de massa, do fundo de um poço de 20m de profundidade.

6-Swamker algébrica de que a subtração de vetores é igual à soma do vetor oposto. Justifique seus postulados.

7 denote um vetor em todas as anotações desenvolvidas neste artigo. (Cartesiano, polar, analítico e esférico).

8-as forças magnéticas exercidas em um ímã que repousam em uma mesa é dada pelos seguintes vetores; V: (5, 3, -2), t: (4, 7, 9), h: (-3, 5, -4). Determine em que direção o ímã se moverá se todas as forças magnéticas agirem ao mesmo tempo.

Referências

1. Geometria e transformões euclidianas. Clayton w. Desviar. Couer Corporation, 1 de janeiro. 2004
2. Como resolver Aplicar problemas de matemática l. Moiseiwitsch. Couer Corporation, 10 de abril. 2013
3. Conceitos básicos de geometria. Walter Prenowz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 de outubro. 2012
4. Os vetores. Rocío Navarro Lacoba, 7 de junho. 2014
5. Álgebra Linear. Bernard Kolman, David R. COLINA. Pearson Education, 2006