Variável aleatória discreta

Explicamos o que é uma variável aleatória discreta, suas características, damos exemplos e resolvemos exercícios

O que é uma variável aleatória discreta?

A variável aleatória discreta É um valor numérico obtido aleatoriamente, como resultado de um experimento e que só leva valores finitos ou contábeis. Isso significa que, dados dois valores consecutivos da variável, não há valor intermediário entre eles.

Exemplos de variáveis ​​discretas são o número de pétalas de uma flor, quantos rostos (ou cruzes) são simultaneamente duas moedas, o número de membros ou filhos de uma família, número de pessoas que vivem em uma casa e muito mais.

Em todos os casos, os resultados da realização do experimento estão contabilizando. Uma variável aleatória chamada “x = número de filhos de uma família” pode ser definida, e essa variável pode levar valores 0, 1, 2, 3…

Portanto, para um caso geral, uma variável aleatória discreta é identificada por:

X = x₁, x₂, x₃... x_k

Onde x₁, x₂, x₃... são os resultados possíveis do experimento.

Muitas vezes, está interessado em conhecer a probabilidade de ocorrência de cada um desses possíveis resultados, indicado como:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

E assim por diante para cada valor x. O índice "i" varia de 1 a k: i = 1,2,3… k.

Esta lista, que contém as probabilidades de cada resultado possível do experimento, é chamado distribuição de probabilidade qualquer função de probabilidade, Desde que a variável aleatória seja numérica, a probabilidade de cada evento está entre 0 e 1 e a soma de todas as probabilidades é igual a 1.

Exemplos de variáveis ​​aleatórias discretas

As variáveis ​​aleatórias discretas são sempre numéricas e contábeis. Eles geralmente medem o número de vezes que um evento ocorre, por exemplo:

• Número de chamadas recebidas por um call center em uma tarde.
• Montante de depósitos bancários feitos em um único dia.
• Inicie um dado e leia o número que aparece na face superior.
• Número de rostos que saem ao lançar duas moedas idênticas.
• Alunos que aprovaram o exame de álgebra I, selecionados aleatoriamente de um grupo de 100 estudantes de engenharia de uma universidade.
• Membros adultos de um rebanho de elefantes em uma reserva da África.
• Número de crianças por família em uma certa cidade.
• Pessoas que frequentam uma função de cinema da meia -noite.
• Número de carros que passam por um pedágio em uma rodovia.

Pode atendê -lo: produto Cruz

Valores inteiros e fracionários

Todas as variáveis ​​aleatórias discretas mencionadas levam valores inteiros. No entanto, variáveis ​​aleatórias discretas podem ser definidas com valores fracionários, por exemplo, a variável aleatória f dada por:

F = fração de peças defeituosas escolhendo aleatoriamente 50 elementos de muito

Os valores possíveis são os seguintes:

• Nenhuma peça defeituosa é encontrada: f₁= 0
• Apenas 1 pedaço defeituoso de 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Duas peças defeituosas são encontradas em 50: f₃= 2/50 = 0.04
• E assim por diante, até o caso em que as 50 peças escolhidas são ruins: f₅₁ = 50/50 = 1

Exercícios resolvidos

Exercício 1: Identifique variáveis ​​aleatórias discretas

Eles têm as variáveis ​​aleatórias dadas por:

X = número de terremotos por ano, ocorreu em uma certa zona geográfica

Y = comprimento exato do pé humano

Z = tamanho adulto calçado

R = duração de uma chamada para um Central de Atendimento

São todas variáveis ​​aleatórias discretas? Justifique a resposta.

Solução

As variáveis ​​X e Z são discretas, pois o número de terremotos em um ano é um valor contábil. Por outro lado, os tamanhos de calçados são finitos, a numeração pode variar de acordo com o país, por exemplo 6, 6.5, 7 ..., mas também é uma quantidade finita.

Por outro lado, o comprimento exato do pé humano pode levar qualquer valor. Por exemplo, entre duas pessoas cuja medição de pé 23.5 e 23.8 cm, é sempre possível encontrar outro cuja medida de pé, digamos 23.6 cm. Este tipo de variável também é aleatório, mas continua.

Quanto ao tempo que dura um telefonema, não é uma variável discreta, pois existem valores infinitos entre duas vezes₁ e T₂ duração.

Pode atendê -lo: números inteiros

Exercício 2: Duas moedas simultâneas

Um experimento consiste em lançar simultaneamente duas moedas idênticas, para as quais a variável aleatória x = número de faces é definida. Encontrar:

a) Os valores que X leva.

b) a distribuição de probabilidades

Solução para

Os possíveis resultados do experimento são os seguintes: nenhum caro (dois vedações), a caro e um selo, a selo e uma caro E finalmente, dois rostos.

Negando o rosto como C e o selo como S, os resultados são resumidos da seguinte forma:

Ω = (s, s); (C, s); (S, C); (DC)

Este conjunto é conhecido como o espaço amostral.

Portanto, a variável aleatória x leva os valores: 0 (sem face), 1 (uma face nas moedas) e 2 (era caro nas duas moedas). Como os resultados são contábeis, a variável, além de aleatória, é discreta:

X = 0,1,2

Solução b

Quando uma moeda é lançada, se honesto, o caro qualquer selo Eles têm a mesma chance de sair, igual a ½. Portanto, se duas moedas forem lançadas simultaneamente, uma vez que os resultados são independentes, porque as moedas não se influenciam, a probabilidade de obter dois lados (ou dois cruzamentos) está multiplicando as probabilidades de cada evento.

Se duas cruzes forem obtidas, significa que nenhum rosto saiu:

P (2 cruzes = 0 faces) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Por outro lado, a probabilidade da combinação CS ou SC é a soma das duas probabilidades favoráveis:

P (1 face) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Finalmente, a probabilidade de obter duas faces é:

P (2 faces) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Observe que essa distribuição de probabilidade atende aos requisitos estipulados no início:

A probabilidade de cada evento está entre 0 e 1.

Ao adicionar as três probabilidades, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Pode atendê -lo: vetores colineais O histograma mostra a distribuição de probabilidade para o lançamento de duas moedas idênticas. No eixo horizontal que a variável aleatória é colocada, o centro da barra corresponde ao valor da variável. E no eixo vertical, a probabilidade é colocada, neste caso, porcentagem. Fonte: f. Zapata.

Exercício 3: Dvocê joga um dado equilibrado

Um experimento consiste em jogar um dado equilibrado duas vezes. A variável aleatória definida é:

X = número de vezes a 1 sai

a) Liste os resultados possíveis do experimento e determine os valores da variável aleatória.

b) Encontre sua distribuição de probabilidades.

Solução para

Como é um dado equilibrado, todas as faces têm a mesma probabilidade de sair e, como os dados são um cubo com seis faces, essa probabilidade é igual a 1/6.

Os possíveis resultados do experimento podem ser sintetizados da seguinte forma:

• Você não recebe 1 ou uma vez: X₁= 0
• O 1 sai apenas uma vez: x₂= 1
• Ambos os lançamentos são 1: x₃= 2

Portanto, a variável aleatória x é discreta e possui três valores:

X = 0,1,2

Solução b

Quanto à distribuição de probabilidades dessa variável, a primeira coisa é notar que o conjunto de todos os resultados possíveis consiste em 36 pares, que compõem o espaço da amostra:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Agora, esses pares são contados nos quais um 1 não é obtido:

x₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

No total, existem 25 pares, nos quais o 1 não sai, portanto, a probabilidade de obter qualquer um desses pares é:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Então, os colegas em que aparece apenas uma vez:

x₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Existem 10 pares, portanto:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Finalmente, há apenas um casal em que eu sai duas vezes: (1,1). Então:

p₃ = P (x = 2) = 1/36