O notação fatorial É usado para calcular o produto do primeiro n Números naturais, ou seja, números inteiros positivos, a partir de 1 para o valor de n. É indicado por um sinal de admiração e é chamado n fatorial:

n! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n

Calcular o fatorial de um número é simples, por exemplo, o produto dos seis primeiros números naturais é expresso por:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

figura 1. A notação fatorial pode ser escrita compacta pelo símbolo do produto de k = 1 a n. Fonte: f. Zapata.

Fatores aparecem em questões como a teoria binomial e combinatória de Newton, que é freqüentemente usada no cálculo das probabilidades. Nestes, as chamadas geralmente aparecem Números combinatórios que pode ser expresso como fatorial.

A notação n! É a criação do médico francês e matemático. Independentemente, as fatoriais também foram descobertas por outro matemático francês: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Assim como nas sumaturas, existe uma maneira de expressar o produto dos primeiros n números naturais de uma maneira resumida:

 O símbolo semelhante a uma letra maiúscula "pi" que aparece na expressão é chamada "produção" ou "multiplicatória".

Propriedades fatoriais de notação

Seja M e N dois números inteiros positivos, é cumprido que:

1. Por conveniência, foi acordado em definir 0! Como igual a 1, isto é: 0! = 1.
2. O valor de 1! = 1
3. Sim! = b!, Isso significa que a = b, desde que A⋅b ≠ 0. A exceção são os valores 0 e 1, desde 1! = 1 = 0!, Como observado, mas está claro que 1 ≠ 0.
4. sim m < n, entonces m! < n! E por tanto m! Está contido em n!:
   n! = 1⋅2vid 3⋅ 4… (M -1) ⋅m… n
5. Para n maior ou igual a 2, você precisa:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Desde que de acordo com a definição:
   n! = [1⋅2vid. 4⋅5… . (N-1)] ⋅n
   A expressão contida entre colchetes é precisamente (n-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   De fato, aumentando as operações do lado direito da igualdade:
   (N+1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5… n ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1idro 2vid3 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

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Co-fábrica, semi-dados ou quase-facutars de um número

O semi -catorial de um número natural depende se é par ou estranho. Na notação, o duplo sinal de admiração ou fatorial duplo é usado e definido pela seguinte regra:

-Se n é par:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Se n é estranho:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Fórmulas para semi-fatoriais

As fórmulas a seguir ajudam a calcular semi-fatores mais facilmente, especialmente quando se trata de grandes números.

O seguinte é observado para o caso que n é uniforme:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

E se n é estranho, então:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Multiplicando e dividindo ao mesmo tempo por [2 . 4 . 6… (n - 1)], a expressão permanece:

n!! = [1mero

Mas a quantidade entre as chaves é:

1⋅2vidão3vid . (N -1) ⋅n

E isso é n!, Como visto acima, então, ao substituir:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

O que está no Square é reescrito assim:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Portanto:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Exemplos

As propriedades acima são aplicadas para simplificar expressões que contêm fatorial, levando em consideração que, em geral, as seguintes expressões não são equivalentes:

1. (M ± N)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Exemplo 1

Ao calcular diretamente estes fatoriais:

a 5!

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b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

São obtidos valores:

a 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10idro

f) (2n+1)!! = 1⋅3vidula

Os resultados de a) até e) também podem ser corroborados com uma calculadora. As calculadoras científicas têm uma função para calcular diretamente o valor de x!.

Como pode ser visto, os resultados dos fatoriais, exceto com pequenos números, são valores que crescem muito rapidamente.

Exemplo 2

As seguintes expressões fracionárias podem ser simplificadas ao usar as propriedades:

Exercícios resolvidos

Exercício resolvido 1

Verifique, usando a fórmula da co-fábrica, esses resultados obtidos anteriormente:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Solução para

Como 11 é ímpar, os valores são cuidadosamente substituídos na fórmula apropriada:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

E então o resultado é simplificado pelas propriedades dos fatoriais:

onze!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Como esperado, o mesmo resultado foi obtido como calculando 11!! diretamente, no entanto, usar a fórmula é vantajoso para um grande valor de n, pois permite expressar o duplo fatorial como produto de dois fatores.

Solução b

Ao aplicar a fórmula semi-fábrica para N Tar, e substituindo valores, o seguinte é obtido:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Exercício resolvido 2

Escreva as seguintes operações como quocientes fatoriais:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) N⋅ (N-1) ⋅ (N-2) ⋅ (N-3)

C) (N-1) ⋅ (N-2) .. .(N-9)

Solução para

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Solução b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Solução c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Exercício resolvido 3

Existem 4 quadrados de cores: azul, laranja, violeta e verde, e você deseja se localizar um ao outro após o outro em uma mesa. De quantas maneiras os quadrados podem ser colocados?

Pode atendê -lo: função constante: características, exemplos, exercícios Figura 2. Quantas combinações podem ser feitas alinhando quatro quadrados de cores?. O resultado pode ser expresso como um número fatorial fonte: f. Zapata.

Solução

Existem várias maneiras de descartar os quadrados, por exemplo, consertando a cor primeiro. Aqui estão algumas opções:

-Azul, laranja, violeta e verde

-Azul, verde, laranja e violeta

-Azul, violeta, verde e laranja

E assim por diante. O leitor pode verificar se existem 6 combinações de quadrados que começam com azul.

Observe que quando você define uma cor como a primeira opção, você pode consertar as outras 3 cores. Uma vez que o segundo é corrigido, há 2 para escolher e, uma vez que essa cor é selecionada, apenas 1 cor permanece.

Isso pode ser expresso pelo Produto: 4⋅3⋅2⋅1, que é o fatorial de 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Conclui -se que no total, existem 24 combinações possíveis.

Nessa maneira de organizá -lo é chamado permutação, em que a ordem em que os elementos são colocados.

Exercício resolvido 4

Resolva as seguintes equações:

a) (x² + x)! = 720

Solução para

No começo, foi visto que 6! = 720, portanto:

(x² + x)! = 6!

Então, a quantidade entre parênteses deve ser 6:

x² + x = 6

Esta é uma equação de segundo grau em x:

x² + x - 6 = 0

Esta equação pode ser resolvida usando a fórmula geral ou por fatoração trinomial.

Usando este último método, o trinomial é fatorizado da seguinte forma:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

As soluções de equação são x₁ = -3 e x₂ = 2

Solução b

Tanto o numerador quanto o denominador são fatores, com o objetivo de simplificar o máximo que a expressão pode ser. Para começar, no denominador, você pode ser fator (x+7)!

Com isso, é possível cancelar o termo (x+7)!, ficando:

Como (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! O denominador pode ser cancelado e permanece:

(x+8)! = 14!

A propriedade 3 é uma equação simples:

x+8 = 14

x = 6

Referências

1. Hoffman, J.G. Seleção de questões de matemática. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Matemática Discreta. Série Schaum. 3º. Edição. McGraw Hill.
3. A matemática é divertida. Função fatorial. Recuperado de: Mathisfun.com.
4. Smartick. Fatorial para que nós os usamos para?. Recuperado de: Smartick.é.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.