Trinômio

Um trinomial é um polinômio com três termos. Fonte: f. Zapata.

O que é um trinomial?

Um trinômio é um polinômio que consiste na soma indicada de três termos diferentes, ou seja, é construído algebricamente três monômios de diferentes graus, uma ou mais variável. São polinômios muito comuns em álgebra.

Alguns exemplos de trinômios são os seguintes:

• x² + 5x - 3 (grau 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial do grau 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinômio do grau absoluto 3, grau 3 em x e grau 2 em y)

O primeiro e o segundo desses trinômios são de uma única variável, neste caso a variável "x", enquanto o terceiro trinômio são duas variáveis ​​"x" e "y".

Exemplos de trinômios

Existem vários tipos de trinômios que são apresentados em inúmeras aplicações, entre as quais estão:

Trinomial quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é obtido ao desenvolver o quadrado de uma soma ou o quadrado de uma diferença em termos. Ambos os desenvolvimentos são conhecidos como produtos notáveis.

Primeiro de tudo, você tem o quadrado da soma: (a + b)². Ao desenvolver esta expressão que você obtém:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ b + b ∙ a + b²

Os dois termos centrais são idênticos e são reduzidos para 2a ∙ b, portanto:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

O trinomial a² + 2a ∙ b + b² contém dois quadrados perfeitos: um² e B², enquanto o termo restante é igual ao produto duplo dos dois termos do binomial original.

O quadrado de uma diferença é um trinômio semelhante ao anterior, exceto por um sinal negativo que afeta o produto duplo dos termos do binomial original:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - a ∙ b - b ∙ a + b²

Novamente, os termos semelhantes são reduzidos a um único termo e é obtido que:

Pode servir você: Teorema de Moivre

(A - B)² = a² - 2a ∙ b + b²

Não é mais possível reduzir o resultado.

Esses produtos notáveis ​​e facilmente memorizáveis ​​associam um trinômio quadrado perfeito ao quadrado do binomial correspondente, por exemplo:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Deve -se notar que nem todos os trinômios quadrados perfeitos são uma variável ou grau 2. Aqui estão exemplos desse tipo de trinômio com duas e mais variáveis ​​e também com diferentes graus de 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + e²
• (2z² + e)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²e + e²
• (5xy³ - z)² = 25x²e⁶ - 10 xy³z + z²

Trinomial da forma x² + BX + c

Neste trinômio, apenas um dos termos é o quadrado perfeito, neste caso é x² e seu coeficiente numérico é 1. O seguinte termo b⋅x é linear e o último termo é o termo independente. Exemplos desse tipo de trinômios são:

• x² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• e² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinomial da forma de machado² + BX + c

Ele se assemelha aos anteriores, exceto que o coeficiente do termo quadrático é diferente de 1, como nesses trinômios:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Fator de Trinomial

Uma operação algébrica muito frequente é a fatoração trinomial, que consiste em escrevê -los como o produto de diferentes fatores de 1. Existem procedimentos específicos para cada um dos trinômios descritos.

Fator de Trinomial Quadrado Perfeito

Eles podem ser fatorados pela inspeção de produtos notáveis:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

(A - B)² = a² - 2a ∙ b + b²

As etapas para levar em consideração um trinômio quadrado perfeito são:

1.- Verifique se o trinomial contém dois quadrados perfeitos para² e B², Ambos os termos devem ser precedidos pelo mesmo sinal, geralmente o sinal +. Se ambos forem precedidos por sinal - isso pode ser fator sem problemas.

Pode atendê -lo: trinômio quadrado perfeito

2.- Determinar os valores de A e B extraindo a raiz quadrada de um² e B².

3.- Corroborar que o terceiro termo é o produto duplo de A e B.

Fatoração trinomial da forma x² + BX + c

Este é o trinômio com um termo quadrático exclusivo, para o fator que é escrito como o produto binomial:

x² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Onde r e s são dois números para determinar.

Observe que, ao desenvolver o lado direito, por meio de propriedades distributivas, é obtido:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Portanto, para que essa expressão reflita o trinômio original, os números u e v devem atender às seguintes condições:

R ∙ s = c
R + s = b

Alguns trinômios da forma x² + BX + C não admite a fatoração por esse método, mas eles podem ser fatorados com a ajuda da fórmula geral ou da fórmula de solvente.

Fator trinomial da forma de machado² + BX + c

Um procedimento para levar em consideração esse tipo de trinômio é:

1. Multiplique e divida o trinômio pelo coeficiente "A"
2. Faça o produto entre "A" e o primeiro e o terceiro mandato do trinomial, deixando o produto sem fazer o segundo termo.
3. O procedimento descrito na seção anterior é aplicado ao trinomial, ou seja, é escrito como o produto de dois binômios, mas neste caso o primeiro mandato de cada binomial não é "x", mas "um ∙ x".
4. Dois N números R e S são procurados que A ∙ C = R ∙ se também R + S = B
5. Finalmente, os binômios que são, veja o exercício resolvido 3 são simplificados o máximo possível.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre o trinomial que resulta ao desenvolver o seguinte produto notável: (4x - 3y)²

• Solução

A fórmula notável do produto para o quadrado de uma diferença é aplicada, resultando em:

Pode servir a você: Coordenadas retangulares: Exemplos e exercícios resolvidos

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Exercício 2

Fato o seguinte trinomial:

x² +  5x + 6

• Solução

Este é um trinômio da forma x² + BX + C, com B = 5 e C = 6, para que você possa tentar levar em consideração o procedimento descrito acima. Para fazer isso, você precisa encontrar dois números R e S multiplicados são obtidos 6 e adicionados em 5:

R ∙ s = 6 e r + s = 5.

Os números procurados são r = 3 e s = 2, pois atendem a essas condições, portanto:

x² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

É deixado como exercício para o leitor verificar se o desenvolvimento do lado direito é facilmente alcançado para o trinomial original.

Exercício 3

Fature 3x² - 5x - 2.

• Solução

Este é um trinômio do formulário de machado² + bx + c, com a = 3, b = −5 e c = −2. O processo é:

-Multiplique e divida por A = 3:

Faça o produto de "A" para o primeiro e o terceiro termo, deixando o produto indicado com o segundo termo:

Agora você tem que escrever o produto binomial, cujo primeiro termo é 3x e procurar dois números R e S, de modo que:

• Quando multiplicado em -6
• E quando adicionado algebricamente, é obtido -5

Esses números são r = −6 e s = 1:

Finalmente, o produto binomial resultante é simplificado:

Exercícios propostos

Fator os seguintes trinômios: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Referências

1. Baldor. 1977. Álgebra Elementar. Edições culturais venezuelanas.
2. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
4. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. 1º. Edição. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Preccultment com avanços de cálculo. 4º. Edição. McGraw Hill.