Teorema binomial

Qual é o teorema binomial?

Ele Teorema binomial É uma equação que nos diz como uma expressão da forma se desenvolve (a+b)ⁿ Para algum número natural n. Um binomial nada mais é do que a soma de dois elementos, como (a+b). Também nos permite conhecer um termo dado por^kb^N-k Qual é o coeficiente que o acompanha.

Este teorema é comumente atribuído ao inventor inglês, físico e matemático Sir Isaac Newton; No entanto, vários registros foram encontrados que indicam que sua existência já era conhecida no Oriente Médio, por volta do ano 1000.

Números combinatórios

O teorema binomial nos diz matematicamente o seguinte:

Nesta expressão A e B são números reais e N é um número natural.

Antes de fazer a demonstração, vamos ver alguns conceitos básicos que são necessários.

O número combinatório ou combinações de n em K é expresso da seguinte forma:

Isso expressa o valor de quantos subconjuntos com k elementos podem ser escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. Sua expressão algébrica é dada por:

Vejamos um exemplo: suponha que tenhamos um grupo de sete bolas, das quais duas são vermelhas e o resto são azuis.

Queremos saber quantas maneiras podemos encomendá -las em uma fila. Uma maneira pode ser colocar os dois vermelhos na primeira e segunda posição, e o resto das bolas nas posições que permanecem.

Semelhante ao caso anterior, poderíamos dar às bolas vermelhas a primeira e a última posição, respectivamente, e ocupar os outros com bolas azuis.

Agora, uma maneira eficaz de contar quantas maneiras podemos pedir as bolas em uma fileira é usar números combinatórios. Podemos ver cada posição como um elemento do seguinte conjunto:

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Abaixo está apenas para escolher um subconjunto de dois elementos, nos quais cada um desses elementos representa a posição que as bolas vermelhas ocuparão. Podemos fazer essa escolha de acordo com o relacionamento dado por:

Dessa forma, temos que existem 21 maneiras de pedir essas bolas.

A idéia geral deste exemplo será muito útil na demonstração do teorema binomial. Vejamos um caso específico: se n = 4, temos (a+b)⁴, Isso nada mais é do que:

Quando desenvolvemos este produto, temos a soma dos termos obtidos multiplicando um elemento de cada um dos quatro fatores (a+b). Assim, teremos termos que estarão na forma:

Se quiséssemos obter o termo do formulário para⁴, É apenas o suficiente para multiplicar da seguinte maneira:

Observe que existe apenas uma maneira de obter esse elemento; Mas o que acontece se agora procurarmos o fim do formulário para²b²? Como "A" e "B" são números reais e, portanto, vale a pena a lei comutativa, temos que obter esse termo é multiplicar com os membros, conforme indicado pelas setas.

Realizar todas essas operações geralmente é um tanto tedioso, mas se virmos o termo "A" como uma combinação em que queremos saber quantas maneiras podemos escolher dois "A" de um conjunto de quatro fatores, podemos usar a idéia de O exemplo anterior do exemplo anterior. Então, temos o seguinte:

Assim, sabemos que no desenvolvimento final da expressão (a+b)⁴ Teremos exatamente o sexto²b². Usando a mesma ideia para outros elementos, você precisa:

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Em seguida, adicionamos as expressões obtidas acima e temos que:

É uma demonstração formal para o caso geral em que "n" é qualquer número natural.

Demonstração

Observe que os termos deixados ao desenvolver (a+b)ⁿ Eles são do formulário para^kb^N-k, onde k = 0,1,…, n. Usando a idéia do exemplo anterior, temos o caminho para escolher "K" variáveis ​​"a" dos fatores "n" é:

Ao escolher dessa maneira, estamos escolhendo automaticamente as variáveis ​​n-k "b". Isso segue isso:

Exemplos

Considerando (a+b)⁵, Qual seria o seu desenvolvimento?

Para o teorema binomial, temos que:

O teorema binomial é muito útil se tivermos uma expressão na qual queremos saber qual é o coeficiente de um termo específico sem ter que realizar o desenvolvimento completo. Como exemplo, podemos tomar o seguinte desconhecido: o que é o coeficiente X⁷e⁹ No desenvolvimento de (x + y)¹⁶?

Para o teorema binomial, temos que o coeficiente é:

Outro exemplo seria: qual é o coeficiente X⁵e⁸ No desenvolvimento de (3x-7y)¹³?

Primeiro, reescrevemos a expressão de uma maneira conveniente; isto é:

Então, usando o teorema binomial, temos que o coeficiente procurado é quando você tem k = 5

Outro exemplo dos usos deste teorema está na demonstração de algumas identidades comuns, como as que mencionaremos abaixo.

Identidade 1

Se "n" for um número natural, temos que:

Para a demonstração, usamos o teorema binomial, onde ambos "a" e "b" tomam o valor de 1. Então nós temos:

Dessa forma, provamos a primeira identidade.

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Identidade 2

Se "n" é um número natural, então

Para o teorema binomial, temos que:

Outra demonstração

Podemos fazer uma demonstração diferente para o teorema binomial usando o método indutivo e a identidade de Pascal, que nos diz que, se "n" e "k" são números inteiros positivos que se encontram n ≥ k, então:

Demonstração de indução

Vamos ver que a base indutiva é cumprida.  Se n = 1, temos que:

Na verdade, vemos que é cumprido. Agora, n = j tal que é cumprido:

Queremos ver isso para n = j+1 é verdade que:

Então temos que:

Por hipótese, sabemos que:

Em seguida, usando a propriedade distributiva:

Posteriormente, o desenvolvimento de cada um dos resumos é:

Agora, se agruparmos convenientemente, temos que:

Usando a identidade de Pascal, temos que:

Finalmente, observe que:

Portanto, vemos que o teorema binomial é cumprido para cada "n" pertencente a números naturais, e com isso o teste termina.

Curiosidades

O número combinatório (NK) também é chamado de coeficiente binomial porque é precisamente o coeficiente que aparece no desenvolvimento do binomial (a+b)ⁿ.

Isaac Newton deu uma generalização desse teorema para o caso em que o expoente é um número real; Este teorema é conhecido como teorema binomial de Newton.

Já na antiguidade este resultado era conhecido pelo caso particular em que n = 2. Este caso é mencionado no Unid de Euclides.